拋物線者，一名畢弗，平方函數之易也[一]，亦圓錐曲線耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。
有對稱軸，軸上有焦點。光平行於軸，反射於線，必至焦點。故電子望遠鏡咸為拋物線，所以聚光源也，探照燈則反之，所以得光束也。
平面上落一焦點 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} ，又有一線 L : a x + b y + c = 0 {\displaystyle L:ax+by+c=0} ，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。
據其義，集為圖形之點 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} ，至準、焦同長也。 定焦 F ( x F , y F ) {\displaystyle F(x_{F},y_{F})} 、準 L : a x + b y + c = 0 {\displaystyle L:ax+by+c=0} 。以畢氏定理知至焦之長曰 ( x − x F ) 2 + ( y − y F ) 2 {\displaystyle {\sqrt {(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}}}} ，至準之距曰 | a x + b y + c = 0 | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|ax+by+c=0|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} ，其同長者，即：
以 A ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle A(x_{0},y_{0})} 為頂。
a者，非零也。
設其項點(0,0)，準線 l : x = − p 2 , p ≠ 0 {\displaystyle l:x=-{\frac {p}{2}}\ ,p\not =0} ，集點 F ( p 2 , 0 ) {\displaystyle F({\frac {p}{2}},0)} ，則可得
P = [ M | M F = d ] {\displaystyle \mathrm {P} =[M|MF=d]}
M F ¯ = ( x − p 2 ) 2 + y 2 , d = | x + p 2 | {\displaystyle {\overline {MF}}={\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}\ ,d=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert }
即
( x − p 2 ) 2 + y 2 = | x + p 2 | {\displaystyle {\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert }
平方之，得
( x − p 2 ) 2 + y 2 = ( x + p 2 ) 2 {\displaystyle (x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}=(x+{\frac {p}{2}})^{2}}
得
y 2 = 2 p x {\displaystyle y^{2}=2px}
亦有
x 2 = 2 p y {\displaystyle x^{2}=2py}
二次函數
導數
Δ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = a ( x + Δ x − b ) 2 + c − [ a ( x − b ) 2 + c ] Δ x = a [ 2 x + ( Δ x ) 1 − 2 b ] {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x-b)^{2}+c-[a(x-b)^{2}+c]}{\Delta x}}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2b]}
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = 2 a ( x − b ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2a(x-b)}
Δ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = a ( x + Δ x ) 2 + b ( x + Δ x ) + c − [ a x 2 + b x + c ] Δ x = 2 a x + a Δ x + b {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}}=2ax+a\Delta x+b}
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = 2 a x + b {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2ax+b}
點｜ 頂點｜ 相切｜ 線｜ 直線｜ 曲線｜ 測地線｜ 切線｜ 圓錐曲線｜ 拋物線｜ 雙曲線｜ 螺線｜ 螺旋 ｜ 面｜ 平面｜ 曲面｜ 切面｜ 三角形｜ 四邊形｜ 多邊形｜ 圓｜ 弦｜ 橢圓｜ 體｜ 長方體｜ 立方體｜ 棱錐｜ 正多面體｜ 錐體｜ 柱體｜ 球｜ 橢球｜ 角｜ 邊｜ 高｜ 長｜ 距｜ 周界｜ 面積｜ 體積｜ 圓周率｜ 黃金分割｜ 相似｜ 全等｜ 平行｜ 垂直｜ 平行公理｜ 勾股定理｜ 歐氏幾何｜ 尺規作圖｜ 非歐幾何｜ 球面幾何｜ 雙曲幾何｜ 流形｜ 坐標幾何｜ 射影幾何｜ 仿射幾何
，至準、焦同長也。
定焦
、準
。以畢氏定理知至焦之長曰
，至準之距曰
，其同長者，即：
為頂。
，焦距即
。
者，右口也；
者，左口也。
，焦距即 。 者，上口也； 者，下口也。
或
。
或
。
，集點
，則可得
![{\displaystyle \mathrm {P} =[M|MF=d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6789e2de35c95298c4d05d172f4e4934d1e7545)
![{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x-b)^{2}+c-[a(x-b)^{2}+c]}{\Delta x}}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207420b11f579e4a945cd6210f0f2cb7ec854e4b)
![{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}}=2ax+a\Delta x+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7847c2a8ea95379fef8bd9c8314b782c6d92463d)
