集

此為底本，未經審校。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

集者，當世數學之本也。夫集，聚物也，其內之物，曰元素。若有物曰乾（x），其為集甲（A）之屬，則云乾為甲之元素也（記曰「 $x\in A$ 」），曰「甲有乾」或「乾屬甲」。

例

若有集甲（A），內有子（a）、丑（b）、寅（c）、卯（d）四物，則云子丑寅卯四者，咸為甲之元素也（記曰「A={a,b,c,d}」，或分而記之，曰「a ∈A, b ∈A, c ∈A, d ∈A」）。至若有一物曰辰（e），非甲之屬，則非甲之元素耳（記曰「e∉A」）。

集內元素，重者不算，其序不辨，故「子、丑、寅、卯」同乎「子、丑、寅、卯、卯」等乎「丑、子、寅、卯」，亦無異乎「丑、子、卯、子、寅、丑、寅」（記曰「A={a,b,c,d}={a,b,c,d,d}={b,a,c,d}={b,a,d,a,c,b,c}」）。

又，若有集乙（B），其中之物，小於九而大於二之實數（記曰「B={x | 2≤ x≤ 9}」）。分數、小數亦可為其屬，諸如三又二分一、四又百分之七一等，咸屬之耳（記曰「3.5∈B, 4.71∈B」）。由是可見，此集無窮，故曰無窮集合也。

凡無物者，曰空集（記曰「∅」）。

主文：集論

集之大小曰基數，集中之集曰子集，除此仍有冪集、並集、交集、補集、直積諸物，咸為集論之學也。

羅素悖論曰：「無己之集，聚以集成，問此集有己乎？」

自相矛盾而不可解。此誠樸素集論之不足矣。

蓋聚物成集，非必然也，以避悖論耳。故凡合乎公理者，方能成集耳。是以無己之集，聚之莫集成，故羅素悖論不再耳！