直積

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

直積（direct product）者，又名積集、笛卡兒積（Cartesian product），為集坐標之集也。

A直積B

定義

甲乙為集。甲（A）取一物曰乾（a），乙（B）取一物曰坤（b），合成乾坤對（記曰「(a,b)」），命作有序對。以甲乙之乾坤對，聚以成集，曰甲乙之直積。以乘號記之，其集之積記為集集相乘，又得名積集。（記曰「$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$」）。

若有無數集合，各取一物，曰族。聚以成集，得無數集合之直積也。見選擇公理一文，兹不贅耳。

例

• 橫有三行，縱有二列，則行一列一、行一列二、行二列一、行二列二、行三列一、行三列二，合成橫縱之直積也。（記曰「{1, 2, 3} × {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}」）
• 實虛之直積，複平面是也。
• 物與空集之直積，亦空耳。（記曰「A×φ=φ」）

練

• 或問：干支為直積乎？六十四卦為乎？

答曰：茲可論矣。夫干支者，甲子，乙丑……如是以次，十干十二支，止得六十干支耳，非直積所論之百二也，其有甲子、甲寅、乙丑、乙卯，而無甲丑、甲卯、乙子、乙寅。故干支非直積也。六十四卦者，取二卦，分曰上下卦，合而成之，各卦均互合焉，譬若上兌下乾，曰澤天夬；上震下坎，曰雷水解。一一合焉，未嘗無對，故，六十四卦乃直積也。

集論

元素｜ 集｜ 族｜ 子集｜ 交集｜ 併集｜ 補集｜ 冪集｜ 有序對｜ 直積｜ 關係｜ 映射｜ 等價｜ 偏序