分數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

分數，整數之比也，舊曰有理數。聚以成集，則記曰$\mathbb {Q}$。

四分數

算

問：何謂六分之九？答曰：米一斗，六分之，各有斗六分之一，取九倍之數，即有斗六分之九也。（泰西記曰「9/6」，或「${\frac {9}{6}}$」。）六曰分母，亦曰法；九曰分子，亦曰實。

欲算分數之和、差、積、商，當從齊同之法。漢劉徽曰︰「凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。」

故欲合數分數，當從合分術，以母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。（記曰「${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$」）；欲相減之，則從減分術，以母互乘子，以後減前，餘為實，母相乘為法，實如法而一。（記曰「${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$」）；欲相乘之，則從乘分術，以母相乘為法，子相乘為實，實如法而一（記曰「${\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$」。）；欲相除之，則易除數之母子，復以乘分術算之（記曰「${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$」）。

子除母，曰倒數。取其正數，曰絕對值。

集

當世數學，空集生自然數，然後整數、分數、實數、複數。然整數何生分數？

取整數甲乙（記曰「(a,b)」）而乙非零，定義一集，曰「乙分之甲」（記曰「a/b」）。凡整數丙丁（記曰「(c,d)」），甲丁之積同乎乙丙者，則收其中（記曰「a/b={(c,d) : ad=bc」）。

由是，「二分之一」同乎「四分之二」、「負六分之負三」；「負三分之四」同乎「六分之負八」、「負九分之十二」耳。

性

分數之集，乃域之屬矣。

據

• 《九章算術》