劉徽

劉徽景元四年,注《九章算術》。其序言:昔在庖犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物 之情,作九九之數,以合六爻之變。暨于黃帝,神而化之,引而伸之。于是建曆紀,協律,用稽道 原。然後兩儀四象精微之氣,可得而效焉。記稱隸首作數,其詳未之聞也。按周公制禮而有九數, 九數之流,則《九章》是矣。往者暴秦焚書,經術散壞。自時厥後,漢北平侯張蒼、大司農中丞耿 壽昌,皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱補,故校其目,則與古或異,而所論者多近語也。 徽幼習《九章》,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術之根源,探之下,遂悟其意。是以敢竭頑魯, 采其所見,為之作注,事類相推,各有攸歸。故枝條雖分,而同本幹者,知發其一端而已。又所析 理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣。且算在六藝,古者以賓興賢能教 習國子,雖曰九數,其能窮纖入微,探測無方。至于以法相傳,亦猶規矩度量,可得而共,非特難 為也。當今好之者寡,故世雖多通才達學,而未能綜于此耳。周官大司徒職,夏至日中立八尺之 表,其景尺有五寸,謂之地中,說云南戴日下萬五千里,夫云爾者以術推之。案《九章》立四表望 遠,及因木望山之術,皆端旁互見,無有超邈若斯之類。然則蒼等為術,猶未足以博盡 群數也。徽 尋九數有重差之名,原其指趣,乃所以施于此也。凡望極高,測絕深,而兼知其遠者,必用重差。 句股則必以重差為率,故曰重差也。立兩表于洛陽之城,令高八尺,南北各盡平地同日度,其正中 之時,以景差為法,表高乘表間為實,實如法而一所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表間為 實,實如法而一即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句股,為之求弦,即日去人也。 以徑寸之筩南望日,日滿筩空,則定筩之長短以為股率,以筩徑為句率,日去人之數為大股,大股 之句,即日徑也。雖夫圓穹之象,猶曰可度,又泰山之高與江海之廣哉!徽以為今之史籍,且略舉 天地之物,考論厥數,載之于志,以闡世術之美。輒造重差,并為注解,以究古人之意。綴于句股 之下,度高者重表,測深者累矩,孤離者三望,離而又旁求者四望。觸類而長之,則雖幽遐詭伏, 靡所不入。博物君子,詳而覽焉。舊術求圓以周三徑一為率,徽以為疏,遂更張其率。其說曰:案 為以六之一面乘半徑二,因而六之,得十二觚之冪。若又割之,次以十二觚之一面,乘一觚之 半徑四,因而六之,則得二十四觚之冪。割之彌細,所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圖 周合體而無所失矣。觚面之外,又有餘徑。以面乘徑,則冪出觚表。若夫觚之細者與圓合體,則表 無餘徑。表無餘徑,則冪不出外矣。以一面乘半徑觚而裁之,每輒自倍,故以半周乘半徑而為圓 冪,此一周徑謂至然之數,非周三徑一之率也。周三者,從其六觚之環耳,以推圓規多少之較,乃 弓之與弦也。然世傳此法莫肯精竅,學者踵古,習其謬失,不有明據,辨之斯難。凡物類形象,不 圓則方。方圓之率,誠著于近,則雖遠可知也。由此言之,其用博矣。謹案圓驗更造密率,恐空設 法數,昧而難譬,故置之檢括,謹詳其記註焉。 割六觚以為十二觚。術曰:置圚徑二尺,半之為一 尺。即圓裏六觚之面,令半徑一尺為弦,半面五寸為句,為之求股。以句冪二十五寸,減弦冪,餘 七十五寸,開方除之,下至秒忽。又一退法,求其微數,微數無名者,以為分子,以下為分母,約 作五分忽之二,故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑,餘一寸三分三釐九豪七秒四 忽五分忽之三,謂之小句。觚之半面,又謂之小股。為之求弦,其冪二千六百七十九億四千九百一 十九萬三千四百四十五忽,餘分棄之,開方除之,即十二觚之一面也。割十二觚以為二十四觚。術 曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。置上小弦冪四而一,得六百六十九億八千七百二十九萬 八千三百六十一忽,餘分棄之,即句冪也。以減弦冪,其餘開方除之,得股九寸六分五釐九豪二秒 五忽五分忽之四。以減半徑,餘三分四釐七秒四忽三分忽之一,謂之小 句。觚之半面,又謂之小 股。為之求小弦,其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽,餘分棄之,開方除之, 即二十四觚之一面也。割二十四觚以為四十八觚。術曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。 置上小弦冪四而一,得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽,餘分棄之,即句冪也。以減 弦 冪,其餘開方餘之,得股九寸九分一釐四豪四秒四忽五分忽之四。以減半徑,餘八釐五豪五秒五 忽五分忽之一,謂之小句。觚之半面,又謂之小股。為之求小弦,其冪七百七十一億一千二十七萬 八千八百一十三忽,餘分棄之。開方除之,得小弦一寸三分八豪六忽,餘分棄之,即四十八觚之一 面。 以半徑一尺除之,又以二十四乘之,得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之, 得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之冪也。割四十八觚以為九十六觚。 術曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。置次上弦冪四而一,得四十二億七千七百五十六萬九 千七百三忽,餘分棄之,即句冪也。以減弦冪,其餘開方除之,得股九寸九分七釐八豪五秒八忽十 分忽之九。以減半徑,餘二釐一豪四秒一忽十分忽之一,謂之小句。觚之半面,又謂之小股。為之 求小弦,其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽,餘分棄之,開方除之,得小弦六分五釐四 豪三秒八忽,餘分棄之,即九十六觚之一面也。以半徑一尺乘之,又以四十八乘之,得冪三萬一千 四百一十億二千四百萬忽。以百億除之,得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十 二觚之冪也。以九十六觚之冪減之,餘六百二十五分之一百五,謂之差冪。倍之為分寸之二百一 十,即九十六觚之外弧田,所謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪于九十六觚之冪,得三百一十四寸六百 二十五分寸之一百六十九,則出圓之表 矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定 率,而棄其餘分,以半徑一尺,除圓冪倍之,得六尺二寸八分,即周數。令徑自乘為方冪四百寸, 與圓冪相折,圓冪得一百五十七為率,方冪得二百為率,方幕二百,其中容圓幕一百五十七也。圓率 猶為微少,案弧田圖,令方中容圓,圓中容方,方合外方之半。然則圓冪一百五十七,其中容方冪 一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約,周得一百五十七,徑則五十,則其相與之率也,周率 猶為微少也。晉武庫中,漢時王莽作銅斛,其銘曰:『律嘉量斛,方尺而圓其外。庣旁九釐五豪, 冪一百六十二寸,深一尺,積一千六百二十寸,容十斗。』以此術求之得冪一百六十一寸有奇,其數 相近矣。此術微少,而斛差冪六百二十五分寸之一百五。以十二觚之冪為率,消息當取此分寸之三 十六,以增于一百九十二觚之冪,以為圓冪三百一十四寸二十五分寸之四,置徑自乘之。方冪四百 寸,令與圓冪通相約,圓冪三千九百二十七,方冪得五千,是為率。方冪五千中,容圓冪三千九百 二十七,圓冪三千九百二十七中,容方冪二千五百也。以半徑一尺,除圓冪三百一十四寸二十五分 寸之四,倍之得六尺二寸八分二十五分分之八,即周數也。全徑二尺與周數通相約,徑得一千二百 五十,周得三千九百二十七,即其相與之率。若此者蓋盡其纖微矣。舉而用之,上法仍約耳。當求 一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之冪。而裁其微分,數亦宜然,重其驗耳。

劉徽
數學家
時代 三國
225年
山東淄博淄川
295年
九章算術注》、《海島算經

論曰:徽稱《九章》為九數之流,然則九數與《九章》自。賈公釋《鄭氏周禮注》云:『今 有重差夕桀句股也者,此漢法增之,非也。』蓋方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、不 足、旁要,今有重差夕桀句股者,九數之篇名。方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、贏不足、 方程,句股者,《九章》之目。今有為一術,不得以今為指謂漢時也。周三徑一,于率尚觕。徽創 以六觚之面割之,又割以求周徑相與之率。厥後祖沖之更開密法,仍是割之又割耳。未能于徽法之 外,立新術也。江都焦里堂循謂劉徽注《九章》,與許叔重《說文解字》,同有功于六藝,是豈尊崇 之過當乎?