八元數

八元數者，八維之數也。哈密頓棄交換律，創四元數，開風氣之先：凱萊去分配律，得八元數，故亦稱凱萊之數也（Cayley numbers）。聚以成集，記曰$\mathbb {O}$。

算

八元數者，八維空間之點也。八維者，實、天（「i」）、地（「j」）、人（「k」）、幻（「l」）、天幻（「il」）、地幻（「jl」）、人幻（「kl」），共一實七虛。由是可見，其究道之深，較諸複數，尤有過之，故曰超複數也。

二數加減，實虛自理。

二數相乘，有乘數表：

八元數乘法圖

一（１）	天（i）	地（j）	人（k）	幻（l）	天幻（il）	地幻（jl）	人幻（kl）
天（i）	負一（-１）	人（k）	負地（-j）	天幻（il）	負幻（-l）	負人幻（-kl）	地幻（jl）
地（j）	負人（-k）	負一（-１）	天（i）	地幻（jl）	人幻（kl）	負幻（-l）	負天幻（-il）
人（k）	地（j）	負天（-i）	負一（-１）	人幻（kl）	負地幻（-jl）	天幻（il）	負幻（-l）
幻（l）	負天幻（-il）	負地幻（-jl）	負人幻（-kl）	負一（-１）	天（i）	地（j）	人（k）
天幻（il）	幻（l）	負人幻（-kl）	地幻（jl）	負天（-i）	負一（-１）	負人（-k）	地（j）
地幻（jl）	人幻（kl）	幻（l）	負天幻（-il）	負地（-j）	人（k）	負一（-１）	負天（-i）
人幻（kl）	負地幻（-jl）	天幻（il）	幻（l）	負人（-k）	負地（-j）	天（i）	負一（-１）

虛負之，曰軛（記曰「${\bar {z}}$」）。

合虛實之方，復開方之，曰模（記曰「$|z|$」）。

數軛相乘，為模之方耳。

二數相除，用模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「$z_{1}/z_{2}=z_{1}z_{2}^{-1}=(z_{1}{\bar {z_{2}}})/(|z_{2}|^{2})$」）。