二元運算

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

二元運算者，四則之抽象也。

定義

二元運算者（「$\circ$」），集與已之直積映射己也（「$\circ$ : $A\times A\to A$」）。加減乘除，皆二元運算也。甲（a）運算乙（b）而得丙，記曰「$a\circ b=c$」，或曰$\circ (a,b)=c$，則曰甲為被運算數（古稱實數或實），乙為運算數（古稱法數或法）。廣群者，有二元運算之代數結構也。

若無固定名稱，多以乘法或加法稱之。且以乘法語之。

單位元

有元素（「e」），凡乘物或乘以物，皆得斯物，曰單位元（「$e\circ x=x\circ e=x$」）。加法單位元謂零；乘法單位元曰一。

結合律

若甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「$x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z$」），則曰二元運算合結合律也。

其廣群曰半群。若有單位元，則曰半幺群也。

交換律

若甲乘乙必同乎乙乘甲（「$x\circ y=y\circ x$」），則曰二元運算合交換律也。

分配律

若加、乘皆二元運算，且有

• 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰左分配律。（「$x\times (y+z)=x\times y+x\times z$」）
• 甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰右分配律。（「$(x+y)\times z=x\times z+y\times z$」）

加乘二法合左右者，則謂二法合分配律也。