整數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

整數，自然數及其負也。聚以成集，記曰$\mathbb {Z}$。

算

整數有三：正整數，零，負整數也。正整數者，自然數也；負整數者，自然數之負也（泰西記曰「−n」，而n為自然數也。）

負二，尚欠二也，此為負數之本義也。然以買為正，賣為負；上為正，下為負；亦無不可。故劉徽曰：「两算得失相反，要令正負以名之。」

劉徽亦曰：「欲算和差，當以正負術。」。

求和者，異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

（若「m≥n」，有「 m + −n = m-n ，−m + n = −(m-n)」；若「m≤n」，有「 m + −n = −(n-m) ，−m + n = n-m」。「m + n = m+n ，−m + −n = −(m+n)」。「0+m = m」。「0 + −m = −m」。）

求差者，同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。

（若「m≥n」，有「 m-n = m-n ，−m - −n = −(m-n)」；若「m≤n」，有「 m - n = -(n-m) ，−m - −n = - −(n-m) = n-m」。「m - −n = m+n ，−m - n = −(m+n)」。「0-m = −m」。「0 - −m = m」。）

求積法：同名正之，異名負之。

（「m×n = mn ，−m×−n = mn」。「m×−n =−mn ，−m ×n = −mn」。）

去其名，曰絕對值。（「|m| = |−m| = m」。）

集

當世數學，空集生自然數，然後整數、分數、實數、複數。然自然數何生整數？

取自然數甲乙（記曰「(a,b)」），定義一集，曰甲去乙（記曰「a-b」）。凡自然數丙丁（記曰「(c,d)」），甲丁之和同乎乙丙者，則收其中（記曰「a-b={(c,d) : a+d=b+c}」）。

於是，零去二同乎二去四，三去五，曰負二。三去零同乎七去四，五去二，曰三。噫，以此觀之，則自然數三與整數三誠異哉。

性

整數之集，乃環之屬矣。

據

• 《九章算術》