啟主列

三角函數

(渡自正弦
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

三角函數勾股弦之繫也。

定義

直角三角形

直角三角形,取一銳角,簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。

角之正弦者,弦( )除勾( )也(記曰 );

餘弦者,弦除股( )也(記曰 );

正切者,股除勾也(記曰 );

餘切者,勾除股也(記曰 );

正割者,股除弦也(記曰 );

餘割者,勾除弦也(記曰 )。

 

坐標幾何生,其義遂新。以零點為心,徑一作一圓。定其始邊,凡一角,應圓上一點,使徑為弦,縱座標勾,橫為股。因有:

象限,即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;

次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;

三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;

四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。

級數

弧度觀之,奇數乘方除以階乘 ),再以正負之法合之,得正弦級數(  )。

偶乘方除以階乘 ),同法合之,得餘弦(  ) 。

若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入複數矩陣算子,不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數( );減倒數,半之,除以負一開方,得正弦( );加倒數,半之,得餘弦( )。

公式

平方關係

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和角、差角公式

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倍角公式

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另有多被角之式,然其煩雜,不易撰之,是以簡略。