非整數進制

非整數進制者，基數不以整數也。

整數進制纂

夫二進制，三進制，六進制，十進制爾爾，整數進制也。即滿 $\mathrm {K}$ 進1，且有

$\mathrm {(K-1)} \in \mathrm {N^{*}}$ （ $\mathrm {N^{*}}$ 者，正整數也，亦作 $\mathrm {N_{+}}$ ）

若十進制之18.25

$18.25=1\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}+2\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}$

$30.13_{(6)}=3\cdot 6^{1}+0\cdot 6^{0}+1\cdot 6^{-1}+3\cdot 6^{-2}$

$102.1_{(4)}=1\cdot 4^{2}+0\cdot 4^{1}+2\cdot 4^{0}+1\cdot 4^{-1}$

且有理數（分數）可做有窮小數，亦都可做循環小數，若 $1=0.{\dot {1}}_{(2)}=0.{\dot {5}}_{(6)}=0.{\dot {9}}_{(10)}$ ，無理數者皆無窮而不循環也。

非整數進制者，從下規

基數 $\mathrm {r}$ , $\mathrm {r} \in (1,+\infty ),\mathrm {r} \not \in \mathrm {N^{*}}$ ，例如下

1.5進制者，1.5之次幂依次相加也，以其 $1.5\in (1,2)$ ,故僅用 $0,1$ 二數

$1=1_{(1.5)}=0.101\,000\,001\,001\dots \dots _{(1.5)}=1.5^{-1}+1.5^{-3}+1.5^{-9}+1.5^{-12}+\dots \dots$

若上文之 $1=0.{\dot {9}}=0.9999\dots \dots$

無理數亦可做底數，如 ${\sqrt {2}}$ 進制，且一位二進制可拆做二位 ${\sqrt {2}}$ 進制，例

$2=10_{(2)}=100_{({\sqrt {2}})}=({\sqrt {2}})^{2}$

$11_{(2)}=101_{({\sqrt {2}})}=({\sqrt {2}})^{2}+({\sqrt {2}})^{0}$

${\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=10_{(2)}{\sqrt {2}}=100_{({\sqrt {2}})}\cdot 10_{({\sqrt {2}})}=1000_{({\sqrt {2}})}$

$1=0.{\dot {1}}_{(2)}=0.{\dot {0}}{\dot {1}}_{({\sqrt {2}})}$

亦名黃金進制（Golden ratio base），且φ= ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ ,黃金數也，亦名中外比。且有11（(φ)）=100（(φ)）,以其φ²=1+φ

${\frac {1}{2}}=0.{\dot {0}}1{\dot {0}}_{(\varphi )}$ , ${\sqrt {5}}=10.1_{(\varphi )}$

以 $\mathrm {e}$ 爲底之進制，且e=2.7182818284......也，是以自然也，且用 $0,1,2$ 三數，如下

$1_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{0},10_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{1},100_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{2},\mathrm {etc}$