洛倫茨變換

洛倫茨變換,各參照系物理量之轉換關係也,數學方程組也。

名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學,後乃狹義相對論基本方程組也。

麥克斯韋方程組經典電動力學經典力學伽利略變換協變也。

數學形式

 
加速觀者世界線之時空。豎時橫距,虛劃時空軌也。

洛倫茲變換視以太存也,然今未見有也。據光速不變原理,光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論時空乃一也,遂曰:

 

箇中:x、y、z、t,慣性坐標系Σ之位也;x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也;v,Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式:

 

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換

 

遂狹義相對論經典力學不矛盾,差之不大。高速如電子,方須慮修之以相對論。

四維形式

狹義相對論時空坐標四參數(t,x,y,z)也。洛倫茲變換可得四維間隔不變之變。

若x、y、z化x1、x2、x3曰:

 

矩陣之:

 

箇中 ,曰洛倫茲因子

勞侖茲變換之推導

愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實,勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質;粒子定域性原理之弗能瞬傳,此最高速巧光速也。

群論之推導

作乘組符之公理曰:

  1. 閉合:以    
  2. 結合律 
  3. 單位元 
  4. 逆元 可返原系 

符合群公理之轉矩陣

   之原點相對 原點速 設向   方向。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性,必一綫性轉換,可矩陣之:

 

箇中 乃待算之矩陣元。相對速 之函數。

參照系 之原點 於參照系 之運動曰:

 

 

同,參照系 之原點 於參照系 之運動曰:

 

 

主斜同且可曰  

 

  時間膨脹之因子。各向同性 僅決速即 

群元可逆故取逆矩陣:

 

 之性質:

 

每較得:

 

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積:

 

必擁同之矩陣型式。故曰:

 

必一相對速 無關之常數。插入較前等式得 之定義:

 

而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰:

 

至此 乃不變速。若 ,c限之。未符實。故 

可曰  兩:

伽利略轉換

 得伽利略轉換矩陣:

 

於此時乃絕對之: 

勞侖茲變換

於更一般 之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣:

 

遂所有參照系不變之速限: 

速度變換公式

設慣性坐標系Σ之各軸之速量ux、uy、uz;Σ'之各軸之速量u'x、u'y、u'z

 
 
 

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式:

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換

 
 
 

其他物理量之變換

類時分量 、類空分量 四維向量 ,其閔考斯基範Minkowski norm乃勞倫茲不變量Lorentz invariant

 

仿寫:

 

箇中   方向上之單位向量。  分解成垂直 和平行 與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同,遂換  ,後相反相對動向,即 

常見之四維向量如下表:

四維向量    
四維位置 時間(乘以   位置向量  
四維動量 能量(除以   動量  
四維波向量 角頻率(除以   波向量  
四維自旋 (無名稱)  自旋  
四維電流密度 電荷密度(乘以   電流密度 
四維電磁位勢 電位(除以   磁向量位  

洛倫茲變換之幾何理解

平面幾何向量某 於原點以 順旋之。新系同向量 曰:

 

長不變曰: 

異角度 再旋之,向量新舊關係曰:

 

即:續旋可加。

相似,定義快度   公式可曰:

 

即:洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。

旋長不變乃:

 

換異速 之系,再換 之。使  。即原系座標 兩換 曰:

 

遂見直加之數非速 而乃角之 

直加減惟因速遠小光   

終,直接轉換若兩速 即:

 

得之相對論速率加法公式。

群論表述

主文:勞侖茲群