一元三次方程

元數一而次數三之方程，是謂一元三次方程，或立方函數之方程也。常書一元三次方程為 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$。

一立方函數之圖： $f(x)={\frac {x^{3}}{4}}+{\frac {3x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{2}}-2$ 也。其實根（即 $x$ 截距）有三： $x=-4$ ， $x=-1$ 及 $x=2$ ；其臨界點有二。

解法

欲解一元三次方程，必先去二次項，而成簡版方程。後以卡贊諾或韋達之法，皆能得解。其終式如下： $x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}$

$x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}$

$x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}$

簡化

欲求甚解者，必先去其二次項。此乃求解之要步也，以便其思路，易生求解之法於心中。簡化時，全式除以 $a$ ，以 $x=t-{\frac {b}{3a}}$ 代之，得 $t^{3}+pt+q=0$ 之制，其中： $p={\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}$

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}$

證： $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

$x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0$

$(t-{\frac {b}{3a}})^{3}+{\frac {b}{a}}(t-{\frac {b}{3a}})^{2}+{\frac {c}{a}}(t-{\frac {b}{3a}})+{\frac {d}{a}}=0$

$t^{3}-{\frac {b}{a}}t^{2}+{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}t-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {b}{a}}t^{2}-{\frac {2b^{2}}{3a^{2}}}t+{\frac {b^{3}}{9a^{3}}}+{\frac {c}{a}}t-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}=0$

$t^{3}+({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}})t+({\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}})=0$

$t^{3}+pt+q=0$

終步則以 $t$ 之三可能值加諸 $-{\frac {b}{3a}}$ 成解也。

此步后，毋論卡贊諾之法或韋達之法，具解 $t$ 也。

卡贊諾之法

大賢卡贊諾云：設 $t=u+v$ 。得：

$(u+v)^{3}+p(u+v)+q=0$

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$

又：設 $3uv+p=0$ 。則： ${\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q...(1)\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}...(2)\\\end{cases}}$

$u^{3}$ 和 $v^{3}$ 皆 $y^{2}+qy-{\frac {p^{3}}{27}}=0$ 之解。以一元二次方程公式可解之。得：

$u^{3},v^{3}={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}}}}{2}}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$

復以單位根求 $u,v$ 之三可能值，以 $u+v$ 得 $t$ （實解者相加，複解者系數乃共軛者相加）。遂以 $x=t-{\frac {b}{3a}}$ 得解也。

韋達之法

大賢韋達云：設 $t=z+{\frac {k}{z}}$ 。得：

$(z+{\frac {k}{z}})^{3}+p(z+{\frac {k}{z}})+q=0$

$z^{3}+(3k+p)(z+{\frac {k}{z}})+{\frac {k^{3}}{z^{3}}}+q=0$

又：設 $3k+p=0$ 。則： $z^{3}+q+{\frac {k^{3}}{z^{3}}}=0$

$z^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27z^{3}}}=0$

$z^{6}+qz^{3}-27p^{3}=0$

由是，得 $z^{3}$ 乃 $y^{2}+qy-{\frac {p^{3}}{27}}=0$ 解之一。以一元二次方程公式可解之。其解同上卡贊諾之法，緣此與彼同一方程也。

復以單位根求 $z$ 之三可能值，以 $z+{\frac {k}{z}}=z-{\frac {p}{3z}}$ 得 $t$ 。遂以 $x=t-{\frac {b}{3a}}$ 得解也。

根之性

先設判別式： $\Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}$

則：

若 $\Delta >0$ ，有實根一且共軛複根一雙；

若 $\Delta =0$ ，有多重實根，其中：

• 若 ${\frac {q^{2}}{4}}={\frac {p^{3}}{27}}\neq 0$ ，有一二重實根且一單實根。
• 若 ${\frac {q^{2}}{4}}={\frac {p^{3}}{27}}=0$ ，有一三重實根。

若 $\Delta <0$ ，有三異實根。