量子群

量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱,霍普夫代數(Hopf algebra)之特例,亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」,惟彼非矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解,與扭結不變量

Drinfeld 所謂之量子群

狹義上最常見之量子羣,又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir DrinfeldNicolai ReshetikhinMichio Jimbo 等之學,乃Kac-Moody 代數[一]通用包絡q-形變。 設

  •   為一Kac-Moody 代數,
  •   為其嘉當矩陣
  • q為非 0 非 1 之複數,

量子羣 為一單元結合代數[二] ,有生成元:

  •   (其中   屬於權格[三] 每一 i 有: ),
  •  , 其中  為簡單根;
  •  , 其中  為簡單根;
  •  ;

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  , for  ,
  •  , for  ,
其中    q-階乘[四] q-序列 [五]

末二關係式曰 「q-舍爾關係」[六],即舍爾關係之q-形變

q 逼近 1,此等關係式漸近於一般 通用包絡代數[七]  之關係式,而各元之極限為:

  •  
  •  

其中   為嘉當子代數 一元,其與 中任何元h 有關係: 。 存在數種餘結合餘積[八] 結構使 成為霍普夫代數,例如:

  •  ,  ,  ,
  •  ,  ,  ,
  •  ,  ,  , 其中,若有需要,吾人可加入生成元   ,而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和;

同時,吾人有反餘積[九] ,其中  ,即

  •  ,  ,  ,其中  ,
  •  ,  ,  , where  ,
  •  ,  ,  , where  .

此等餘積有同一餘單位元[一〇] ,  ,  

對映[一一]各為:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

換一角度,  為域 上一代數-- 上以 q 為變量之有理函數域;

亦可視  為域 上一代數-- 上以 q 為變量之有理函數域(見下文:q=0 時之量子羣一節)。

表示理論

量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構,  有在其自身上之伴隨表示[一二],如下:  

其中  為常用符號(所謂「Sweedler 符號」)

 

情況一:q非 1 之根

權表示[一三](或曰「權模[一四] )重要。 權模有由權向量[一五]所成之基。 權向量即非零向量v, 使每   ,其中每 為複數,使

  •  ,
  • 每權    ,。


若 權格中每一    ,則吾人稱 v 之權為 

可積表示[一六]者, 為一權表示,於其上  and  之作用俱為零冪 (即其中每一 v,存在正整數k使每一 i )。此時,各數   ,其中   屬於權格,而  為複數,使得

  •  ,
  • 每權   ,
  • i 

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v;每一權 v  ,而每一 i  。 類似地,吾人亦有最低權表示,生成自單一權向量 v,而每一 i 

 為 Kac-Moody 代數,則在其任何不可約最高權表示(以 為最高權)中,權重數相等於 之數最高權表示。若其最高權為支配整權[一七] (即   為非負整數)則權譜在韋爾羣 作用下不變,而此表示可積。

相逆,若有一可積表示,則其最高權向量 v ,其中   為複數,使

  •  ,
  • 每權   

 ,

  •   for all i,
  •   為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。 每 中一元 x , 每向量 vw 有作用: , 使  ;對於餘積  , 有   .

上述最高權表示為一一維表示 (  ,) 與一由   生成之最高權表示 (每權   有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每i  )之張量積。

特别地,若  為有限維李代數,則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

情況二:q為 1 之根

半三角性

情況一:q非 1 之根

嚴格講, 半三角霍普夫代數 [一八],唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為   與嘉當生成元  之表示式,其中  形式地當作  。此式可分成兩因式之積:  與 一無窮和,其中   嘉當子代數之對偶空間之基,而  為其對偶基,  為 +1 或 -1。

此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示(或兩最低權表示)之張量積。更準確地講,若 v 為權-  - 向量,w為權-  -向量,則  ,而最高權(或最低權)之性使另一因式於   之作用成有限和。

更準確地講, 若 V 為最高權表示,則無限和R 上定義有一作用,且 (作為  之元)符 楊振寧-Baxter 方程,故定義一辮羣之表示,亦定義扭結擬不變量[一九]

情況二:q為 1 之根

待修

晶體基 - q=o時之量子羣

柏原正樹曾研究 時量子羣之極限行為。 由 之定義關係,可視    上之霍普夫代數

 簡單根 為非負整數,設    (特别地,  )。設 為可積表示, 為一權,  (即權 向量) 可唯一地分解成

  •  ,

其中  ,  ,若  則必有  , 而若   則必有  。 線性 影射   可於 上定義:

  •  
  •  

 為所有  中 於   正則 (regular) 之有理函數所成之整環。(即此類  :存在多項式   使   ,且 )。   之一 晶體基[二〇]為一有序對  ,其中

  •   之一自由 -子模,其使  ;
  •    上向量空間  之一  -基,
  •  ,且 ,其中  ,而 ,
  • i  
  • i  
  •   ,每i,有   若且僅若 


概念上,   於可積模上 、 時之作用 常有。 吾人引進其上之線性映射   以使   於該模上、  時之作用為正則。  有一由權向量   組成之 -基,使    於其上、  時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之  -模上, 再於 時計算其基向量、, the  -子模、    之作用。 再者,吾人可擇此基,使  時,每  與 每   互為轉置(are represented by mutual transposes), 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息,可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表   -基   之一元,每一自 頂點  指 頂點  之有向邊 i代表等式   (或  ),其中  相應之基向量 ,為 相應之基向量  。此圖定義   時之作用。 設一可積表示有一晶體基;彼不可約若且僅若其圖連通

若一可積表示具晶體基,則其權譜 等於 晶體基之權譜[二一],亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證

 定理:每一可積最高權表示有一晶體基。  


晶格基之張量積

 為一可積表示, 為其晶體基。 設  為一可積表示,  為其晶體基。賦與每晶體基一餘積[二二]  

  •  
  •  
  •  

可積模  有一晶體基 ,其中  。設  為基向量;設 ;設      上之作用為

  •  
  •  

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示;此分解為其圖之連通部所定。

緊致矩陣量子羣

S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構;於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。

緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理,每一交換C*-代數,存在唯一(除同肧關係)緊致Hausdorff 空間,其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣G,存在一 C*-algebra 態射   (其中  為 C*-algebra 張量積 -   之代數張量積之完備化),使得每 、每  , 有   (其中   ,而   )。 亦有一線性、積性態映射  ,使 每    。嚴格講,若 G 非有限羣,  不成一霍普夫代數。然而,吾人可用G之一有限表示以生成  之一 *-子代數,是為一 Hopf *-代數。專言之,若  之一  -維表示,則每   ,且 。然則由   生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數:其餘單位元為各   所定(其中 Kronecker delta,取值0 或1), 其對映為  ,其單位元為 

推而廣之,一緊矩陣量子羣定義自序對  ,其中   為一 C*-代數,而   上之矩陣,使

  •  內生成自 之矩陣元之 *-子代數  ,於  內稠密。
  • 存在 C*-代數態射  (其中  為 C*-代數張量積 -   之代數張量積之完備化)使每 i,j 有  。人稱 為餘積;
  • 存在線性反積性映射  (「餘逆元」)使每   ,且  ,其中  之單位元。因   之反積性,每  

由連續性,  上之餘積有餘結合性。

一般 雙代數  為一Hopf *-代數。

概念上,可視 為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數,  為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 [二三]。 吾人稱表示 v 為么正, 若其矩陣為么正(或,等價地,若每 i, j  )。

例: ,其中參量   為一正整數。故  , 其中    and  生成之 C*-代數 ,其定義關係為

 

  故其餘積定義自  ,  , 其餘逆元定義自 ,  ,  ,  。注意:  為一表示,但非么正。  等價於么正表示  

換言之, , 其中    生成之 C*-代數 ,其定義關係為

 

  故其餘積定義自  ,  ,且其餘逆元定義自 ,  ,  ,  。注意:  乃一么正表示。此等表示可以  互相轉換。

 ,則   

另見

  1. 例如半單李代數
  2. (en:unital associative algebra)
  3. (en:weight lattice)
  4.   為任何正整數
  5.  
  6. (q-Serre relations)
  7. (en:universal enveloping algebra)
  8. coassociative coproducts
  9. reverse coproduct
  10. en:counit
  11. antipode
  12. en:adjoint representation
  13. en:weight representation
  14. en:weight module
  15. en: weight vector
  16. en:integrable representation
  17. en:dominant integral weight
  18. en:quasitriangular Hopf algebra
  19. en:quasi-invariant
  20. en:crystal base
  21. en:weight spectrum
  22. en:coproduct
  23. corepresentation -- 一餘單位餘結合餘代數之餘表示  為一方矩陣  ,其項來自   (故 )使 每   ,且 每