矢量空間
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
定義
纂矢量空間者,交換群(V )也,其物曰矢量或向量,合一域(F),曰標量域,其物曰標量;並有標量乘法。標量乘法者,標量乘矢量得矢量(F × V → V,(r,v)→ rv ),必以下是從:
- 標量甲乘矢量乙丙之和,同乎甲乙積加甲丙積(「r(x+y) = rx+ry」),曰分配律。
- 標量甲乙之和乘矢量丙,同乎甲丙積加乙丙積(「(r+s)x = rx+sx」),曰分配律。
- 標量甲乙之積乘矢量丙,同乎甲乘乙丙之積(「(rs)x = r(sx)」)。
- 標量「一」乘矢量甲得甲(「1x = x」)。
例
纂- 域直積(「 」),域之物為標量,維數為域之數(「n」)。
- 實數集直積複數集(「 」),實數為標量,維數乃三。
- 實數集,分數為標量,維數無窮。
- 多項式集,實數為標量,維數無窮。