量子群各本之異

 
 
概念上, <math>e_i f_i</math> 與 <math>f_i e_i</math>於可積模上 、<math>q = 0</math>時之作用 常有[[奇異|異]]。 吾人引進其上之線性映射<math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 以使 <math>\tilde{e}_i \tilde{f}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i \tilde{e}_i</math>於該模上、 <math>q = 0</math>時之作用為正則。 <math>M</math>有一由權向量 <math>\tilde{B}</math> 組成之<math>{\Bbb Q}(q)</math>-基,使 <math>\tilde{e}_i</math> 與<math>\tilde{f}_i</math> 於其上、<math>q = 0</math> 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 <math>A</math>-模上, 再於<math>q = 0</math>時計算其基向量、, the <math>A</math>-子模、 <math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 之作用。 再者,吾人可擇此基,使 <math>q = 0</math>時,每<math>\tilde{e}_i</math> 與 每 <math>\tilde{f}_i</math> 互為轉置(''are represented by mutual transposes''), 而基向量則映射至基向量或 0。
 
每晶體基之訊息,可記以一每邊有記號之[[有向圖]]。 圖中每一頂點代表 <math>L/qL</math>之 <math>\Bbb Q</math>-基 <math>B</math> 之一元,每一自 頂點<math>v_1</math> 頂點<math>v_2</math> 之有向邊 ''i''代表等式 <math>b_2 = \tilde{f}_i b_1</math> (或 <math>b_1 = \tilde{e}_i b_2</math>),其中<math>b_1</math>為<math>v_1</math>相應之基向量 ,為<math>b_2</math>相應之基向量 <math>v_2</math>。此圖定義<math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 於 <math>q = 0</math>時之作用。 設一可積表示有一晶體基;彼不可約若且僅若其圖[[連通]]。
 
若一可積表示具晶體基,則其權譜 等於 晶體基之權譜<ref>[[:en:weight spectrum]]</ref>,亦等於相應之 [[Kac-Moody 代數]]之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 [[Kac-Moody 代數]]表示中之重數。
二三九〇