正弦定理者，三角公式也。其義曰：三角邊除以對角之正弦函數，常數也。其式曰：
a sin A = b sin B = c sin C {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
且常數者，其外接圓之直徑也。故：
a sin A = b sin B = c sin C = d = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=d=2R}
一般之制者，弗涉外接圓也。可加一邊垂高，分二直角三角。以正弦函數之義證之。 設加垂高於 c {\displaystyle c} ，其長為 h {\displaystyle h} ，則：
sin A = h a {\displaystyle \sin A={\frac {h}{a}}}
h = a sin A {\displaystyle h={\frac {a}{\sin A}}}
sin B = h b {\displaystyle \sin B={\frac {h}{b}}}
h = b sin B {\displaystyle h={\frac {b}{\sin B}}}
∴ a sin A = b sin B {\displaystyle \therefore {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}}
同理，舉一隅，可反三隅也。
涉外接圓之制者：設外接圓之心為 O {\displaystyle O} 。設 O ⊥ B C {\displaystyle O\perp BC} 於 P {\displaystyle P} 。以歐幾里得幾何兼正弦函數之義證之。
( r e f l e x ) ∠ B O C = 2 ∠ B A C {\displaystyle \mathrm {(reflex)} \angle BOC=2\angle BAC} （圓心角二倍於圓周角）
正弦定理一證
，其長為 
，則：
。設 
於 
。以歐幾里得幾何兼正弦函數之義證之。
（圓心角二倍於圓周角）
