啟主列

微積分者,微分積分也,極限論乃其根基。夫微分者,所以求斜率也。積分者,所以求面積也。於高等數學,是為基礎,重要也甚。

微積分,萊布尼茲牛頓集大成也。

自古以來,欲求圖形面積者多矣,唯非嚴而求之也。阿基米德以窮盡之法,以內接正多邊形之周長得圓周率之近似值;祖沖之亦以此法,得球體積之妙算。

十七世紀,牛頓以微分之法、萊布尼茲以積分之道,發微積分之大,究微積分之深,微分、積分二問題合而為一,就數學及科學,貢獻甚鉅。

而後,柯西伊普西龍-德爾塔極限定義,補無窮小量之缺,於魏爾施特拉斯之後,其基乃為扎實。乃在歐拉拉格朗日拉普拉斯之下,入高等微積分

極限

極限者,微積分根基之鎖鑰,近而不達也。

函數於一點之極限值,乃變量之所趨,函數值之所至也。使函數於一點之極限值與函數值無異,則曰連續。

莊子云:「一尺之棰,日取其半,萬世不竭。」是之謂也。

微分

導數者,取應變數之差,以自變之差除之,之數愈近於零,則為極限者也。乃稱此函數於某點「可導」,曰極限存在於此也。於幾何,導數者,函數之切線斜率也。

兩函數和而求導,兩函數之導數和也;差以求導,差也;倍而求導,倍也;積以求導,其一導數與另一函數之積,與其與另一導數之積之和也;商以求導,被除者導數與除者之積減以除者導數與被除者之積,以除者自乘除之,可得;反函求導,導而求反也。

常數之導數,零也;冪函數求導,冪降而乘之。正弦求導,曰之餘弦;餘弦求導,曰之正弦之負也。

積分

積分者,可以黎曼和之極限定之。取一區間於一函數之定義域上,分割之,計數各分割區間長與函數值之積,概括而求以總和,曰黎曼和。夫割之彌細,所失彌少,其極限者,謂黎曼積分也。

和而求積,積也;差而求積,積也;倍而求積,倍也。幾何之中,積分者,其函數與坐標軸所夾之面積也。

微分積分,相剋相生也:積而微之,得之原者。問曰何以?其可證也。微積分基本定理也。亦名之牛頓-萊布尼茲公式。