導數

導數者,函數某點之變率也,以極限趨之所得也。常以 , , , 等記之。

導數之本乃函數於某點之變率(切線),故紅線之斜率,導數也

物理動機

  • 瞬時變化率,有「速度」为證。夫所謂以   之速而行者,實是頃間位移之變,亦位移之導數而已矣。故曰: 

微分

  為一開區間且函數   ,若極限

   

存在,是謂   可微分於   。其極限值,即   微分值之在   ,且如上述云。

導數

  為一開區間  上處處可微分  ,則命  導數   

      

亦以   識之。

顯函之導數亦   之一函數也,隱函者則為   空间之一多元函數也。

常用導數

凡以下公式,皆助吾等得眾函之導數:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15.  (加減之法)

16.  (乘之法)

17.  (除之法)

18.  (鏈之法)

夫初等函數之萬千组合,毋論顯隱,此眾法皆可得其導數。

一之證:  

 

 

二之證:  

 

 

 

三之證:

  • 次第一: 正整數,藉乎牛頓二項式定理:

 

 

 

 

 

 

  • 次第二: 負整數

  。則:  

 

 

 

 

 

 

  • 次第三: 有理數

  ,且   乃整數 ( )。則:  

又:設   ,則:  

 

 

 

 

 

 

 

  • 次第四:  實數

  。則:  

 

 

 

 

 

四之證:

 

 

 

 

 

五之證:

次第一: 

 

 

 

 

 

  ,則若   

 

 

 

 

次第二: 

 

 

 

 

 

六之證:

 

 

 

 

 

 

七之證:

 

 

 

 

 

 

八之證:

 

 

 

 

 

九之證:

 

 

 

 

 

十之證:

 

 

 

 

 

十一之證:

 

 

 

 

 

十二之證:

   。則:

 

 

 

 

 

十三之證:

 

 

 

十四之證:

   。則:

 

 

 

 

 

十五之證:

   。則:

 

 

 

 

 

十六之證:

   。則:

 

 

 

 

 

 

十七之證:

   。則:

 

 

 

 

 

 

 

十八之證:

   。則:

 

 

 

緣當   時,   ,故:

 

 

 

 

  之導數。

 

 

 

二階導數

二階導數者,導數之導數也,乃函數於某點時斜率之變率,為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作    等。夫 者,其義緣 也。

至於甚者(  階導數,   時),其義及書同上。(舉一隅,則反三隅也)

  之二階導數。

 

 

 

偏導數

詳見偏導數