塞瓦定理

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

塞瓦定理，又譯為西瓦定理，幾何定理也，與梅涅勞斯定理為對偶。首證之者乃泰西義大利疇人喬瓦尼‧塞瓦（Giovanni Ceva）。

共點於三角形內

共點於三角形外

定理言：三角形甲乙丙（ABC）中，三邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁（D）、戊（E）、己（F），而三線甲丁、乙戊、丙己共一點庚（O）。 則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一。（${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1$）

或可簡曰：一三角形，自頂點各引一線而共一點，則其線各自截對邊之分點比依序連乘之積為一。

其中，稱甲丁、乙戊、丙己三線段為關於庚之塞瓦線；三角形丁戊己為關於庚之塞瓦三角形。

或可以角元式記之：上述三線共點，則角乙甲丁之正弦除以角丁甲丙之正弦、角丙乙戊之正弦除以角戊乙甲之正弦、角甲丙己之正弦除以角己丙乙之正弦，三者之積為一。（${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}}=1$）

證明

其證明有多法，聊舉一以示之。

由共邊定理可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形甲乙庚與甲丙庚積之比；（${\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle ACO|}}$）

同理亦有：

長丙戊比於長戊甲，等乎三角形乙丙庚與甲乙庚積之比；（${\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}}$）

長甲己比於長己乙，等乎三角形甲丙庚與乙丙庚積之比。（${\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle ACO|}{|\triangle BCO|}}$）

三式相乘即得證。

逆定理

三線平行

逆之而亦為定理：有三角形甲乙丙，其邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己，且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一；又於丁、戊、己三點中，或恰有一，或三點皆在該三角形邊之中。則三線甲丁、乙戊、丙己共一點，亦或三線平行。

備考

梅涅勞斯定理