共形場論

共形場論、或曰保角場論 (conformal field theory, CFT) 者，量子場論一支，研究共形對稱之量子場組成之結構 (數學上或相通於處臨界點之統計力學模型) 。一此結構亦俗稱「一共形場論」。此論中最為人知者乃二維共形場論，因其有一巨大、對應於各全純函數之無限維局部共形變換羣。

共形場論有用於 弦論、統計力學、凝態物理。

尺度不變與共形不變

尺度變換 乃共形變換之子集。 尺度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下，尺度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用尺度不變與共形不變二詞。

二維共形場論

二維共形場論有一無限維之局部共形變換羣。例如，考慮黎曼球面上之共形場論：雖其變換羣由各Moebius 變換組成、同構於PSL(2,C)，但其無窮小共形變換則構成無限維之 Witt 代數。 注意：大多共形場論量子化後會出現 共形反常 （又稱 Weyl 反常）。此現象引進一非零之中心荷，因而 Witt 代數須擴展成 維拉所羅代數。

此對稱結構讓吾人更細緻分類二維之共形場論。 尤其者，吾人可聯繋一共形場論之原初算子 與其中心荷 c。各物理態組成之希爾伯特空間是Virasoro 代數以c為定值之一么正模 . 若要使整個系統穏定，則其Hamiltonian 之能譜 應限在零及其上。最廣為人用者乃維拉所羅代數之最高權表示。

一手徵場 乃一全純場W(z)，其於維拉所羅代數作用下之變換為

$L_{n}W(z)=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}W(z)-\Delta z^{n}W(z)$,

${\bar {L}}_{n}W(z)=0.\,$.

反手徵場之定義亦類同。吾人稱 Δ 為手徵場W之「共形權」。

Zamolodchikov 嘗證：存在一函數 C，於重整羣流作用下單調下降 ，且等於一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱 「Zamolodchikov C-定理」。是故，二維重整羣流不可逆也。

閱

• AdS/CFT 對應
• 算子積展開
• 頂點代數
• WZW 模型
• 臨界點

攷

• Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. 模板:ArXiv.
• P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.
• A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.
• A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility' Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986 [一] 互聯網檔案館的存檔，存档日期2020-01-07. (Russian version).
• 弦论通俗演义（十九） 互聯網檔案館的存檔，存档日期2006-12-13.