使用者:Hillgentleman/塞爾伯格迹公式

塞爾伯格迹公式(Selberg's trace formula)乃非交換調和分析中一關鍵結果，亦指一重要研究方向。 此式計算某些積分與微分算子作用於齊性空間G/Γ 之函數空間上之「迹」（矩陣迹之推廣），其中G為李羣而Γ為其離散子羣. 更一般者，可考慮雙陪集空間 H\G/Γ。

早期

1956年，塞爾伯格 撰文論其首例－－空間為一緊致黎曼曲面S，微分算子為拉普拉斯算子或其冪; 則其迹供吾人一類 zeta 函數 (見塞爾伯格 zeta 函數)。此等公式強烈類比質數理論中之明顯公式(explicit formulae)----以S上閉測地線代質數。 研究員旋即反觀黎曼假設，認迹公式為泊松和公式之非交換推廣。

同時，Martin Eichler與塞爾伯格提出 Eichler-塞爾伯格迹公式，以計算 Hecke 算子 作用於 具特定權、相應於模羣內某congruence 子羣 之尖點型式空間之Hecke 算子。此時單位算子之迹等於向量空間之維度，亦即某種模型式之線性空間之維度：此量一般可以黎曼-洛克定理算。此發展指出，吾人可用表示理論推廣迹公式，以得更多資訊。

發展

此後發展多矣。Eichler-志村定理計算模曲線所繫之Hasse-Weil L-函數；志村五郎之法繞過迹公式所需之分析。由Eichler 上同調生之拋物上同調(en:parabolic cohomology)提供純代數、基於羣上同調之架構，利用模曲線與非緊致黎曼曲面之尖點性質。塞爾伯特迹之緊致商情況或多或少已納入Atiyah-Singer 指標定理；但 若Γ 為一算術羣，則吾人立遇非緊致情況。

加深與推廣

1960年代，蓋爾芳特學派、普林斯頓之Harish Chandra與郎蘭兹 與日本之Tomio Kubota發展 Selberg 迹公式研究之主方向－－作為一門分析學. Eisenstein 級數之一般理論主要受分離連續譜之需所啓發；此為非緊致情況之特徵。微分算子與Hecke 算子迹公式之存在印證adele 羣之力。

現今此等之推廣為：

• 可用於一般半單李羣G之Arthur-Selberg 迹公式；
• 郎蘭兹哲思 中各種研究，以理各技術問題，如「內窺現象」。

迹公式尚無最終之型式，因 L² 指標定理仍未追上各用。

緊致雙曲面上之 Selberg 迹公式

吾人可表一緊致雙曲面X為

$\Gamma \backslash \mathbb {H}$,

其中 $\Gamma$ 為$PSL(2,\mathbb {R} )$之子羣。

則Laplace-Beltrami 算子於X上之譜乃離散(見離散譜)； 即

$0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots$

其中特徵值$\mu _{n}$ 相應於函數 $u\in C^{\infty }(\mathbb {H} )$ ，使

$y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0$.

且

每元$\gamma \in \Gamma$有

$u(\gamma z)=u(z)$

若代

$\mu =s(1-s),s={\frac {1}{2}}+ir$

則特徵向量記為$r_{n}$,其中$n\geq 0$.

則 Selberg 迹公式為

$\sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (F)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{1/2}-N(T)^{-1/2}}}g(\log N(T)).$

其中和 $\{T\}$ 取各異之 all distinct 雙曲共軛類 函數 h 須為 $\vert \Im (r)\vert \leq 1/2+\delta$上解析函數，並滿足

$h(-r)=h(r),\ \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\vert \Re (r)\vert ^{-2-\delta }\right),$

其中$\delta$ 與 M為正整數。函數 g 為h 之富理埃變換，即： $h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}du$。

他典

• 塞爾伯格迹公式資料