使用者:Hillgentleman/卡茨丹-魯斯迪多項式

卡茨丹-魯斯迪多項式為表示論中一種多項式組，亦有用於代數幾何與組合學。 原定義雖淺，唯難算，且蘊深意。

原定義

設:

• W為一 Coxeter 羣。
• S為 W之簡映集。
• $l(w)$為 W上之長度函數。
• ${\mathcal {H}}'$ 為$\mathbb {Z} [q]$上一代數：
  • T_w 為其基，且其乘法符：
    • 當 $l(ww')=l(w)+l(w')$，有 $T_{w}T_{w'}=T_{ww'}$，
    • 當 $s\in S$，有 $(T_{s}+1)(T_{s}-q)=0$；
• $A:=\mathbb {Z} ((q^{1/2}))$;
• ${\mathcal {H}}:={\mathcal {H}}'\otimes _{\mathbb {Z} }[q]A$。

卡茨丹與魯斯迪嘗

• 定義： W-圖 為序對 (X,Y)；其中 X 為頂點集，Y為邊集；且每一頂點$x\in X$，有S之子集$I_{x}$；每一邊{x,y}，有非零整數$\mu (y,x)$，且符：
  • （設E 為以X為基之自由A-模）；
  • （設$s,t\in S,s\neq t,(st)^{m}=1\in S$）；
  • $\tau _{s}(x):=\left[{}_{qx+q^{1/2}\sum _{y\in X,s\in I_{y},\{y,x\}\in Y}\mu (y,x)y\longleftarrow (s\notin I_{x})}^{-x;\longleftarrow (s\in I_{x})}\right]$ 定義一E態射；
  • $\tau _{s}\tau _{t}\tau _{s}...=\tau _{t}\tau _{s}\tau _{t}...$，其中每側有m 因子。

設：

• ${\bar {q^{1/2}}}:=q^{-1/2}\in A$。
• ${\bar {\sum a_{w}T_{w}}}:=\sum {\bar {a_{w}}}T_{w^{-1}}^{-1}\in {\mathcal {H}}$。
• $q_{w}:=q^{l(w)}$。
• $\epsilon _{w}:=(-1)^{l(w)}$。
• $\leq$為W上之自然Bruhat 序。

卡茨丹 與 魯斯迪 嘗證

• 定理： 每一$w\in W$，存在唯一 $C_{w}\in {\mathcal {H}}$，使：
  • ${\bar {(}}C_{w})=C_{w}$；
  • $C_{w}=\sum _{y\leq w}\epsilon _{y}\epsilon _{w}q_{w}^{1/2}q_{y}^{-1}{\bar {P_{y,w}}}T_{y}$；
    • 其中，當$y<w$ 時，$P_{y,w}\in A$ 為以 q 為元、次數少於$1/2(l(w)-l(y)-1)$ 之多項式，
    • 且 $P_{w,w}=1$。

卡茨丹 與 魯斯迪嘗猜想 ：「各$P_{y,w}$之各系數為非負整數」, 並證之。是故研究員稱之曰「卡茨丹-魯斯迪多項式」。

攷

• J.E. Humphreys (1990), 《Reflection Groups and Coexter Groups》，Cambridge University Press.
• F. Benti (2003), Kazhdan-Lusztig polynomials: History Problems, and Combinatorial Invariance,[一].