畢達哥拉斯常數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

畢達哥拉斯常數者，數學常數也，記曰${\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}=1.41421356\cdots \cdots$

無理性

奇偶性

假設畢達哥拉斯常數屬有理數，則其為甲除乙之商也，設甲與乙互質。而甲與乙中必有奇數者，又有甲之平方乃乙之平方乘以二也。故甲之平方為偶數，從而甲偶。設甲為丙乘以二，則運算後可得乙之平方乃丙之平方乘以二也，從而乙偶。此有悖於「甲與乙互質，甲與乙中必有奇數者」之假設，故畢達哥拉斯常數屬無理數。

遞減

設${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$有理，定義$S=\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:n{\sqrt {2}}\in \mathbb {Z} ^{+}\}$。易見$b\in S$，故$S$非空。基於良序原理，$S$中必有最小之數，稱其為$n$。設$m=n{\sqrt {2}}$。因而${\frac {2n}{m}}=2\cdot {\frac {n}{m}}=2\cdot {\frac {1}{\frac {m}{n}}}=2\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}$。吾有

${\begin{array}{lcl}m&=&n{\sqrt {2}}\\2n&=&m{\sqrt {2}}\\2n-m&=&(m-n){\sqrt {2}}\\\end{array}}$

因此$m-n\in S$。又${\sqrt {2}}<2\Rightarrow m<2n\Rightarrow m-n<n$，故$n$非$S$中最小之數，有悖於前文假設。

歷史

畢達哥拉斯常數者，乃於東周貞定王年間所發現。畢達哥拉斯証勾股定理時，始悟一等腰直角三角形中，其長邊與其短邊之比乃${\sqrt {2}}$。因畢達哥拉斯之徒深信世間凡數者，皆為兩數之商之論，故門徒希巴素斯証${\sqrt {2}}$無理時，即被畢達哥拉斯投於海中而亡。

公元前1800－1600年間，巴比倫族人已得${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}\approx 1.41421296...$，乃確至逾百萬之一也。

算術

估${\sqrt {2}}$之值，計策尤多。然而許多尤繁，不便於算，惟巴比倫之策可得${\sqrt {2}}$之有理數估值。其律如下：

其一：略估${\sqrt {2}}$之值，設為$a$。

其二：算二除以$a$之值，後加以$a$，又以二除之，使其代入$a$中。（以式示之，曰${\frac {a+{\frac {2}{a}}}{2}}$。）

如是重複，則$a$之值漸近${\sqrt {2}}$也。

至今為止，${\sqrt {2}}$已被算至十兆數位。

特質

三角函數

半直角之正弦及餘弦皆為${\sqrt {2}}$之半：$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2}}}$。

故${\sqrt {2}}$於三角學中乃密不可分之部也。

代數

因為${\sqrt {2}}^{2}-1=1$，故$({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=1$，或${\sqrt {2}}+1={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$。此特質與白銀比例有關也。

連分數

${\sqrt {2}}$之連分數尤為簡易：

$\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}$

故連分數之估算尤易而得：詳見佩爾數一欄。