黎曼和

黎曼和者，定積分之定義也。其以極限趨算函數交$x$軸兼二垂線之面積。

義

有函數$f(x)$，若計$x=a$之$x=b$（$b>a$）其所圍之積，則削$x$軸$a$之$b$部$n$份下是函，記闊$\Delta x$（$\Delta x={\frac {b-a}{n}}$），各部類長方形，故視其如是。$a$之$b$間，凡有$x_{i}=a+i\Delta x$（$i$）者，其下是函小長方之積$f(x_{i})\Delta x$也。故下是函之面積幾近$f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+\cdots +f(x_{n})\Delta x=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$。以極限趨$n$於無窮，得函所圍之積，實$\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$。此記曰黎曼和也。故，$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$。