啟主列

餘弦定理者,三角學定理也。勾股定理乃其特。


視一三角,一邊長之冪等於餘二邊長之乘冪之和,復損所餘二界,乘之以二,復乘其夾角餘弦值之積。


數示茲列如下(先十天干,後十二地支,後六十四卦,有映者天干配地支也,如甲子、乙丑、丙寅、丁卯,遵此類推):


題設:今有三角形,三邊各令為甲(邊a)、乙(邊b)、丙(邊c),所應三角為子(角A)、丑(角B)、寅(角C),據餘弦定理而有:

  • 冪甲(邊a之冪)之求:冪乙(邊b之冪)加冪丙(邊c之冪),損乙(邊b)丙(邊c)之積乘倍,復以角子(角A)之餘弦乘之。西方示之以 

依是理也,推而度得:

  • 冪乙(邊b之冪)之求:冪甲(邊a之冪)加冪丙(邊c之冪),損甲(邊a)丙(邊c)之積乘,復以二倍角丑(角B)之餘弦乘之。西方示之以 
  • 冪丙(邊c之冪)之求:冪甲(邊a之冪)加冪乙(邊b之冪),損甲(邊a)乙(邊b)之積乘,復以二倍角寅(角C)之餘弦乘之。西方示之以 

殊例

使其一角為直角者,是角餘弦之值乃零也(如 )則餘 ,即勾股也。

此定理自歐幾里得《幾何原本》即有之[一],其二邊之夾角或鈍角,或銳角,書中分此二命題而證之[二]

  1. 《幾何原本》卷二‧命題十二、十三
  2. 唯直角時即勾股定理,證於該書卷一‧命題四十七