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'''環'''者，一有加乘二法之[[代數]]結構也，於其上可行加法與乘法運算，且其加法與乘法為自封.。
==定義==
'''環'''<math>R</math>為一集，賦以'''加法'''與'''乘法'''[[二元運算|運算]]如以下：
*其加法(於此定義加法符號為<math>+</math>)者，為[[群 (代數)|阿貝爾群]]也。此加法之單位元習慣以 <math>0</math>（零）表之。
*若定義其乘法符號為<math>\times</math>，則其乘法有
:1 [[結合律]]：<math>\forall x, y, z \in R</math>，<math>x \times (y \times z) = (x \times y) \times z</math>；
:2 （與加法間有）（左右）[[分配律]]：<math>x \times (y + z) = x \times y + x \times z</math>；且<math>(x + y) \times z = x \times z + y \times z</math>
'''環'''者，集也，有[[二元運算|加乘]]二法（「+ ，×」），合：
*由分配律與加法性質，吾人可證得：<math>\forall x \in R</math>，<math>x \times 0 = 0 \times x = 0</math>
*集合加者，[[交換群]]也，有元素曰「零」。
*甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積也（「(x × y) × z = x × ( y × z)」），曰[[結合律]]。
:甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積；甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰[[分配律]]。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z; (x + y) × z = x × z + y × z」<ref>以慣例，先乘除後加減。也</ref>）
可得證，物乘「零」同乎「零」乘物，皆「零」也（「x × = 0 × x = 0」）。
*今所究者，多有元素曰「一」，且凡物乘「一」或物乘以「一」，皆為己（「1 o x = x o 1 = x」）。
若乘法合交換律者，即甲乘乙必同乎乙乘甲者，曰'''交換環'''。
一般環但具上述性質。以下為更深入之結構：
* '''乘法單位元'''(不必存在): 為 R 中元素 ''1''，對 R 中任何元素 x ，有<math>1 \times x = x \times 1 = x</math>。
*'''交換環'''：對 R 中任何 ''x'',''y''，吾人有<math>x \times y = y \times x</math>。
==性==
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