三角函數各本之異

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阿拉伯數字
'''三角函數''',[[三角形|勾股弦]]與[[角]]之繫也。
 
== 直角三角形定義 ==
=== 直角三角形 ===
 
直角三角形,取一[[角|銳角]],簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。
 
角之'''正弦'''者,弦(r)(<math>r</math>)除勾(y)(<math>y</math>)也(記曰<math>\sin \alpha = \frac{y}{r}</math>);
 
'''餘弦'''者,弦除股(x)(<math>x</math>)也(記曰<math>\cos \alpha = \frac{x}{r}</math>);
 
'''正切'''者,股除勾也(記曰<math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>);
'''餘割'''者,勾除弦也(記曰<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>)。
 
=== 圓 ===
 
[[File:Unit_circle_angles.svg]]
四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。
 
=== 級數 ===
 
以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負之法合之,得正弦級數(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。
若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。
 
=== 指數 ===
 
[[歐拉]]究級數,得[[歐拉等式]],知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,[[歐拉數]]之其乘方,得一數(<math>e^{i\alpha}</math>);減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(<math>\sin \alpha \, = \, {e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} \over 2i} </math>);加倒數,半之,得餘弦(<math>\cos \alpha \, = \, {e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \over 2}</math>)。
 
== 公式==
平方關係
*<math>{\sin x}^2 + {\cos x}^2 = 1</math>
和角、差角公式
*<math>\sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y</math>
*<math>\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math>
倍角公式
*<math>\sin 2x = 2 \sin x \cos x</math>
*<math>\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x</math>
另有多被角之式,然其煩雜,不易撰之,是以簡略。
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九二