「孿生質數」:各本之異
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新文「'''孿生質數'''者,質數之差二也,若三與五,五與七爾爾。 3, 5, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, etc == 難題 == '''孿生質數'''之……」 |
細無編輯摘要 |
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第一〇行:
今仍無解
== 無窮性之證 ==
<big>孿生質數無窮性之證</big>
<big>由[[質數分佈定理]]可知,質數之距遞增。</big>
<big>設質數之距d,由定理可知</big>
<big><math>d_{(p_{n},p_{n+m})}<d_{(p_{n+k},p_{n+m+k})}</math></big>
<big>暫令二者等距,且令<math>(p_n+k)\in \mathbb{P}\ ,p_n=r,</math>則</big>
<big><math>\Delta{p_n}^2=(p_n+k)^2-{p_n}^2</math></big>
<big><math>=r^2+2kr+k^2-{p_n}^2</math></big>
<big><math>2kr+k^2</math></big>
<big>又質數平方內半質數(質數分佈缺陷)pp'有如下之分佈</big>
<math>{p_3}^2</math> <big>5<sup>2</sup> <math>\varnothing</math></big>
<math>{p_4}^2</math> <big>7<sup>2</sup> <math>5\cdot 7</math> <math>C_2^2</math></big>
<math>{p_5}^2</math> <big>11<sup>2</sup> <math>5\cdot 7 \quad 5 \cdot 11 \quad 7\cdot 11</math> <chem>C_3^2</chem></big>
<math>{P_6}^2</math> <big>13<sup>2</sup> <math>5\cdot 7 \quad 5 \cdot 11 \quad 5\cdot 13 \quad 7 \cdot 11 \quad 7 \cdot 13 \quad 11 \cdot 13</math> <chem>C_4^2</chem></big>
<big>etc</big>
<math>{P_n}^2</math> <big><math>C_{n-2}^{2}</math></big>
<big><math>C_{n-2}^{2}=\frac{1}{2}(n-2)(n-3)=\frac{1}{2}[n^2-5n+6]</math></big>
<big>則<math>(p_n+k)^2</math>滿足</big>
<big><math>n_{pp'}<\frac{1}{2}(r+k-2)(r+k-3)</math></big>
<big><math>=\frac{1}{2}[r^2+2kr+k^2-5r-5k+6]</math></big>
<big>則</big>
<big><math>\Delta n_{pp'}<\frac{1}{2}[r^2+2kr+k^2-5k-5r+6]-\frac{1}{2}[r^2-5r+6]</math></big>
<big><math>=\frac{1}{2}[k^2+2kr-5k]</math></big>
<big>半質數之密度</big>
<big><math>\frac{\Delta n_{pp'}}{\Delta{p_n}^2}<\frac{1}{2} \cdot \frac{[k^2+2kr-5k]}{k^2+2kr}</math></big>
<big><math>=\frac{1}{2}[1-\frac{5k}{k^2+2kr}]</math></big>
<big><math>\lim_{k \to \infty}\lim_{r\to \infty}\frac{\Delta n_{pp'}}{\Delta{p_n}^2}<\frac{1}{2}</math></big>
<big>又質數之距遞增,故</big>
<big><math>\lim_{r\to \infty}\frac{\Delta n_{pp'}}{\Delta{p_n}^2}=0</math></big>
<big>即半質數之比趋於零,故孿生質數{6n-1,6n+1}無窮</big>
6n-1,6n+1
[[:en:Senary|senary]]
[[:en:Duodecimal|duodecimal]]
[[分類:數學]]
[[分類:數學課題]]
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