「環 (代數)」:各本之異

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第二行:
'''環'''者,有加乘二法之[[代數]]結構也。
 
== 定義 ==
 
'''環'''者,集也,有[[二元運算|加乘]]二法(「+ ,×,×」),合:
* 集合加者,[[交換群]]也,有單位元曰「零」。
* 集合乘者,[[半群]]也,即守[[封閉性]]與[[結合律]]。
** 甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積也(「(x ×× y) ×× z = x ×× ( y ×× z)」),曰[[結合律]]。
* 甲乘乙丙之和,同乎甲乙之積加甲丙之積;甲乙之和乘丙,同乎甲丙之積加乙丙之積,曰[[分配律]]。(「x &times;× ( y + z ) = x &times;× y + x &times;× z; (x + y) &times;× z = x &times;× z + y &times;× z」<ref>依習,先乘除後加減。</ref>)
可得證,物乘「零」同乎「零」乘物,皆「零」也(「x &times;× 0 = 0 &times;× x = 0」)。
 
* 今所究者,多有乘法單位元曰「一」,且凡物乘「一」或物乘以「一」,皆為己(「1 o x = x o 1 = x」)。
 
若乘法合[[交換律]]者,曰'''交換環'''。交換環而非零物皆有乘法逆者,曰[[域 (代數)|域]]。
 
== 例 ==
* [[整數]]合加乘,交換環也。
* [[矩陣|方陣]]合加乘,環也。然非交換環耳。
* [[四元數]],環也。然非交換環耳。
* [[同餘]]集,交換環也。
* [[多項式]]集,交換環也。
 
== 註 ==
第八一行:
[[sk:Okruh (algebra)]]
[[sl:Kolobar (algebra)]]
[[sr:Алгебарски прстен]]
[[sr:Прстен (математика)]]
[[sv:Ring (matematik)]]
[[ta:வளையம் (கணிதம்)]]