歐拉數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

歐拉數者（Euler's number），又云自然常數，常數。符號$e$，自然對數之底數也，有式：

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$。

$e=2.71828182845904523536\cdots$，為超越無理數也。

無理數之證

二項式

若$n$有值，則可證以二項式：

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}1^{n-k}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left[C_{n}^{0}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{n}^{1}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{n}^{2}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{n}^{3}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2!\times n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!\times n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

$=2.71828...$

其之有

$0!=1$

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...n=\textstyle \prod _{k=1}^{n}\displaystyle k=n(n-1)!$

$C_{n}^{m}={\frac {A_{n}^{m}}{m!}}={\frac {n!}{(n-m)!m!}}$