十二球問題

十二球問題者,邏輯題也,或曰其嘗爲微軟公司面試所用,然未知其眞僞。以其題構思精妙,故得廣傳。

原題

有球十一,等重,別有異者一,輕重之差不知,混於其中。請以無砝碼無度量之天平三校而得其異者,且知其輕重之勢,何解?

爲明其理,記球以地支之數。

先取子丑寅卯與辰巳午未校之,其形有二:

子丑寅卯與辰巳午未等重

論曰,八球既等,則子丑之屬皆爲常者,可以之爲範也,異者當在申酉戌亥間。 次取子、申二球與酉、戌複校,其形再有二:

  • 其一:子申與酉戌等重,故得異者爲亥。
  • 其二:子申與酉戌不等,則知異者介乎申酉戌三者間,斯時,當誌天平所傾之相,以備後用。

異者爲亥

三取子與亥校,可知其輕重之勢矣。

異者居於申酉戌間

移申至天平別側,而更之以丑,棄戌。三校,其形又有三:

  • 其一:子丑與申酉等,論曰:知申酉亦常者,而異者戌也。
  • 其二:子丑與申酉不等,天平所傾未之變,論曰:申、戌雖異位於前,然無關乎天平之所傾,故異者必酉也。
  • 其三,子丑與申酉不等,且天平所傾異乎再校之相,論曰:天平所傾之所以異於前者,申之所居有變焉,故異者申也。

此三者,欲知異者輕重之勢,皆可由前校之時,異球所居及天平所示得之。

子丑寅卯與辰巳午未異重

異者在子至午八者之間,申酉戌亥之屬必常也,斯時,亦當誌天平之所傾。

次移丑寅卯于天平別側,而更以申酉戌;棄巳午未,再校,其形有三:

  • 其一:子申酉戌與辰丑寅卯等重,論曰:子丑寅卯辰亦皆常球也,異者在巳午未間。
  • 其二:子申酉戌與辰丑寅卯異,而天平所傾未之更,論曰:其所以不變者,子、辰之位未變也,異者必居其一。
  • 其三:子申酉戌與辰丑寅卯異,而天平所傾異於前,論曰:其所傾之所以異於前者,丑寅卯之居異也,故異者在丑寅卯中。

若異者爲子辰

乃取申與子三校,論曰:若二者等,則異者爲辰,若不等,則必爲子矣。

若異者居乎巳午未或丑寅卯間

此二形,其三校之法同,三者取其二,置之天平兩側各一,或巳午相校,或丑寅相校。論曰:若等,遂知異者爲未校者;若不等,則居所校二者之間。 欲知異者輕重之勢,亦皆可由前校之時,異球所居天平所示得之。