「三角函數」:各本之異

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盡除之
第一行:
{{當代數學}}
'''三角函數''',[[三角形|勾股弦]]與[[角]]之繫也。
 
== 直角三角形 ==
 
直角三角形,取一[[角|銳角]],簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。
 
角之'''正弦'''者,弦(r)除勾(y)也(記曰<math>\sin \alpha = \frac{y}{r}</math>);
 
'''餘弦'''者,弦除股(x)也(記曰<math>\cos \alpha = \frac{x}{r}</math>);
 
'''正切'''者,股除勾也(記曰<math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>);
 
'''餘切'''者,勾除股也(記曰<math>\cot \alpha = \frac{x}{y}</math>);
 
'''正割'''者,股除弦也(記曰<math>\sec \alpha = \frac{r}{x}</math>);
 
'''餘割'''者,勾除弦也(記曰<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>)。
 
== 圓 ==
 
[[image:Unit_circle_angles.svg]]
 
迨[[坐標幾何]]生,三角函數之義遂新。以零點為中,徑為一,得一圓。凡一角,相應圓上一點,使徑為弦,縱坐標為勾,橫坐標為股。因有:
 
首[[象限]],即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;
 
次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;
 
三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;
 
四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。
 
== 級數 ==
 
以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負正負之法合之,得正弦(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。
 
偶數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math>),再以正負正負之法合之,得餘弦(<math>\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math> ) 。
 
若依此法,則三角函數可用[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。
 
== 指數 ==
 
[[歐拉]]究級數,得[[歐拉等式]],知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,[[歐拉數]]之其乘方,得一數(<math>e^{i\alpha}</math>);減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(<math>\sin \alpha \, = \, {e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} \over 2i} </math>);加倒數,半之,得餘弦(<math>\cos \alpha \, = \, {e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \over 2}</math>)。
 
<!--
 
與[[邊 (數學)|邊]]
 
本表也,乃[[初等函數]]與[[超越函數]]之屬耳,今疇人述曰無窮級數與微分方程,且已推及複數域矣
 
於物理學,三角函數亦有所用矣
 
六基本三角函數如下:
 
{| class="wikitable"
|-
! 函數名
| 正弦
| 餘弦
| 正切
| 餘切
| 正割
| 餘割
|-
! 符號
| sin
| cos
| tan (亦作tg)
| cot (亦作ctg)
| sec
| csc
|}
 
== 定義 ==
[[Image:Trigonometric function1.gif|thumb|280px]]
若<math>\alpha</math>為直角坐標系xOy之[[象限角]],<math>P\left( {x,y} \right)</math>為角終邊之一點,<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>為P至原點O之距,則<math>\alpha</math>之六三角函數定義為:
{| class="wikitable"
|-
| '''函數名'''
|'''定義'''
| '''函數名'''
| '''定義'''
|-
| 正弦
| <math>\sin \alpha = \frac{y}{r}</math>
| 餘弦
| <math>\cos \alpha = \frac{x}{r}</math>
|-
| 正切
| <math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>
| 餘切
| <math>\cot \alpha = \frac{x}{y}</math>
|-
| 正割
| <math>\sec \alpha = \frac{r}{x}</math>
| 餘割
| <math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>
|}
 
若為無窮級數則可書之如下:
 
*
*
== 公式 ==
三角函數有諸恒等式如下:
*<math>\sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y</math>
*<math>\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math>
*<math>{\sin x}^2 + {\cos x}^2 = 1</math>
*<math>\sin 2x = 2 \sin x \cos x</math>
*<math>\cos 2x = {\cos x}^2 - {\sin x}^2 = 2{\cos x}^2 - 1 = 1 - 2{\sin x}^2</math>
 
-->
== 見 ==
*[[三角學]]
*[[雙曲函數]]
*[[數學分析]]
 
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