歐氏幾何各本之異

無編輯摘要
Itsmine
Itsmine
'''歐几里得幾何''',或'''歐氏幾何''',乃沿習[[歐几里得]]始創也。初述於《幾何原本》之[[幾何]]。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏,及傳中華,[[徐光啟]]亦云《幾何原本》不可增刪;十九世紀,[[高斯]]、[[羅巴切夫斯基]]、[[波約]]三人破傳統,立新幾何,故歐氏幾何亦曰'''傳統經典幾何'''二十世紀初,[[相對論]]立,其以[[非歐幾何]]為本,歐氏幾何獨尊[[物理]]不再耳!
 
== 公理 ==
歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理:
 
,二、此必有至彼點可作一線段相連
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都全等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。
 
二、線段可從彼界直行引長之。
第五條公理稱為平行公理,可以導出下述命題:
 
三、線段作半徑,界為心,可作一圓。
通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線。
 
四、直角皆等。
平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里德幾何,說明平行公理是不能被證明的。(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何。)
 
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。
從另一方面講,歐幾里德幾何的五條公理並不完備。例如,該幾何中的有定理:任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統。
 
尚有小公理若干,在此不述。
歐幾里德還提出了五個「一般概念」,也可以作為公理。當然,之後他還使用量的其他性質。
 
第五條公理五亦[[平行公理]]可以導出等價如命題:
1. 與同一事物相等的事物相等。
2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。
4. 一個事物與另一事物重合,則它們相等。
5. 整體大於局部。
 
:此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。
{{stub}}
 
== 非歐幾何 ==
 
首四公理,甚為簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰[[非歐幾何]]。然十七世紀初,[[德薩格]]創[[射影幾何]],謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。
 
有疇人棄公理五,得[[絕對幾何]]。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。
 
== 希爾伯特公理 ==
 
以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。[[希爾伯特]]遂於一八九九年作二十公理,以完歐氏幾何耳。
 
[[Category:數學]]
 
[[ar:هندسة إقليدية]]
[[bg:Евклидова геометрия]]
[[ca:Geometria euclidiana]]
[[cs:Euklidovská geometrie]]
[[da:Euklidisk geometri]]
[[de:Euklidische Geometrie]]
[[et:Eukleidese geomeetria]]
[[el:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
[[en:Euclidean geometry]]
[[es:Geometría euclidiana]]
[[fa:هندسه‌ اقليدسی]]
[[fr:Géométrie euclidienne]]
[[ko:유클리드 기하학]]
[[io:Euklidana spaco]]
[[it:Geometria euclidea]]
[[he:גאומטריה אוקלידית]]
[[jbo:efklidi tamcmaci]]
[[nl:Postulaten van Euclides]]
[[ja:ユークリッド幾何学]]
[[pl:Geometria euklidesowa]]
[[pt:Geometria euclidiana]]
[[ro:Geometrie euclediană]]
[[ru:Евклидова геометрия]]
[[sk:Euklidova geometria]]
[[fi:Euklidinen geometria]]
[[sv:Euklidisk geometri]]
[[vi:Hình học Euclide]]
[[tr:Öklid geometrisi]]
[[zh:欧几里德几何]]
二七六六八