歐氏幾何各本之異

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歐氏幾何User:Wshun/歐氏幾何矣: 殆盡為白話,宜先正而後書
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'''歐几里得幾何''',或'''歐氏幾何''',乃沿習[[歐几里得]]《幾何原本》之[[幾何]]。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏也,及傳中華,[[徐光啟]]亦云《幾何原本》不可增刪;至十九世紀,[[高斯]]、[[羅巴切夫斯基]]、[[波約]]三人破傳統,立新幾何,故歐氏幾何亦曰'''傳統幾何'''也。
 
== 公理 ==
歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理:
 
一,二點必有線段相連。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都全等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。
 
第五條公理稱為平行公理,可以導出下述命題:
 
通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線。
 
平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里德幾何,說明平行公理是不能被證明的。(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何。)
 
從另一方面講,歐幾里德幾何的五條公理並不完備。例如,該幾何中的有定理:任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統。
 
歐幾里德還提出了五個「一般概念」,也可以作為公理。當然,之後他還使用量的其他性質。
 
1. 與同一事物相等的事物相等。
2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。
4. 一個事物與另一事物重合,則它們相等。
5. 整體大於局部。
 
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