「群 (代數)」:各本之異

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==定義==
'''群''',集也,合一「[[二元運算|乘法]]」(o),(o)<ref>集與己直積映射己,<math>o : G\times G \rightarrow G</math>。常記 o(x,y) 作 x o y 。</ref>,有:
*甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積(「x o (y o z) = (x o y) o z」),曰[[結合律]]。
*有元素曰(「1」),凡物乘一或物乘以一,皆為己(「1 o x = x o 1 = x」)。
*物必有逆(「x<sup>-1</sup>」),物乘逆或逆乘物,皆同乎一(「x o x<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup> o x = 1」)。
若合乎[[交換律]],即甲乘乙必同乎乙乘甲者,則曰[[交換]],亦曰[[阿貝爾]]
 
==阿貝爾群==
若<math>\forall x ,y \in G</math>,<math>x O y = y O x</math>,則曰<math>G</math>為'''於O之交換群''',或謂'''於O之阿貝爾群'''也
==例==
*整數集合<math>\mathbb{Z}</math>者,其加法運算<math>+</math>即為一群且此群者,加法交換群也,其「一」為零。
*整數集合其乘法,非群也。蓋若為群,其「一」必為一,而二無逆耳。
 
*偶數集合其加法,非群也,蓋無「一」耳。
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*「負一,零,一」合其加法,非群也,蓋一加一不存耳。
 
*整數集,取「甲乘乙」為甲加乙加一(「x o y = x + y + 1」),交換群也,其「一」為負一,物之逆為負二減己(「x<sup>-1</sup> = -2 - x」)。
*[[矩陣]]合其乘法,群也。然非交換群耳。
*[[四元數]]合其乘法,群也。然非交換群耳。
 
== 註 ==
<references/>
 
[[Category:群論]]