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「勾股定理」：各本之異

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丁子君（議｜勛）
IP封鎖豁免者、總校官
七九五五筆編輯
細 →‎見： 如無必要，勿增分類。
259230243TW（議｜勛）
九二筆編輯
簽：阿拉伯數字 掌中纂 行動版應用程式編輯 Android 應用程式編輯
 
第四六行：
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|thumb|歐幾里得《幾何原本》之證]]
 
設<math>\triangle ABC</math>為一直角三角形，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。自''A''點<math>A</math>作垂線於對邊。延是線，分對邊之正方形為二也，其面積等於如二正方形之和也。
 
證之先，有四輔助定理：
* 有三角形二，若等其二邊，并等其夾角，則二者，[[全等]]也。（SAS（邊角邊定理）
* 三角形之面積者，半之同底同高之平行四邊形之面積之半也。
* 任一正方形之面積者，邊長平方也。
* 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。
證之思：上述此二正方形，輔之以同底等高之三角形，據其面積關係，等於下二等面積之矩形也。
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|證明輔圖二]]
證明：
# 設<math>\triangle ABC</math>為一直角三角形，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。
# 其邊，BC，<math>\overline{BC}</math>、<math>\overline{AB}</math>、<math>\overline{CA}</math>也。依序繪四方形成矩，CBDE、BAGF及ACIH也。
# 經點A作平行線於<math>\overline{BD}</math>、<math>\overline{CE}</math>也。分交<math>\overline{BC}</math>及<math>\overline{DE分別}</math>、於點K、L也。
# 連<math>\overline{CF}</math>、AD，<math>\overline{AD}</math>，三角形<math>\triangle BCF</math>及三角形並<math>\triangle BDA</math>成也。
# <math>\angle CAB</math>及<math>\triangle BAG</math>者，直角也。是故C、A、G都三點共落於一線。同理可證B、A、H三點共線。
# <math>\angle CBD</math>及、<math>\angle FBA</math>，皆直角也，故<math>\angle ABD</math>等於<math>\angle FBC</math>。
# 因<math>\overline{AB及}</math>、<math>\overline{BD}</math>分別等同於<math>\overline{FB及BC，}</math>、<math>\overline{BC}</math>，故<math>\triangle ABD</math>等之面積同於<math>\triangle FBC</math>。
# 因A、K、L三點共線，故矩形BDLK之面積，二倍於<math>\triangle ABD</math>也；C、A、G三點共線，故矩BAGF之面積，倍於<math>\triangle FBC</math>也。
# 因C、A、G三點共線，是故矩形BAGFBDLK之面積，二倍等於BAGF之面積也，乃<math>\triangle FBCoverline{AB}^2</math>也。同理可證，CKLE之面積，等於ACIH之面積也，乃<math>\overline{AC}^2</math>。
# 求和，得 <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BD} \times \overline{BK} + \overline{KL} \times \overline{KC}</math>。
# 是故矩形BDLK之面積，等於BAGF之面積也，乃<math>AB^2</math>也。
# 又<math>BD=KL</math>，<math>\overline{BD} \times \overline{BK} + \overline{KL} \times \overline{KC} = \overline{BD}(\overline{BK} + \overline{KC}) = \overline{BD} \times \overline{BC}</math>。▼
# 同理可證，四邊形CKLE之面積，等於四邊形ACIH之面積也，乃<math>AC^2</math>。
# 求和又四邊形CBDE者，得 正方形也，故<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = BD \times BK + KL \times KCoverline{BC}^2</math>也。
▲# 又<math>BD=KL</math>，<math>BD \times BK + KL \times KC = BD(BK + KC) = BD \times BC</math>。
# 又四邊形CBDE者，正方形也，故<math>AB^2 + AC^2 = BC^2</math>也。
是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節]{{en}}，歐幾里德著</ref>。
 
取自「https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/勾股定理」