「複數」：各本之異

'''複數'''者，虛實相合之數也。夫[[實數]]者，咸能示於[[數線]]上。若夫'''虛數'''，方之為負者耳。蓋泰西之人，究之甚詳，言之曰「''<math>a''+''b''ibi</math>」，''<math>a''</math>、''<math>b''</math>者，實數也；i；<math>i</math>者，虛數單位也，意負一開方（<math>\sqrt{-1}</math>）。聚以成集，記曰「複數域」（<math>\mathbb{C}</math>）。

答曰：立一平面，横實縱虛，曰複平面。上有一點（「z」），横三縱四，即數三實四虛也。以[[極坐標]]視之，徑五，角千分之九百二十七[[弧度|弧]]，謂模五，幅角千分之九百二十七（記曰「<math>5e^{i0.927}</math>」）。模，亦曰[[絕對值]]（記曰「<math>|z|</math>」）。

欲求模：先合虛實之方，復開方之（記曰「<math>|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}</math>」）（[[勾股定理]]，取<math>z</math>至原心<math>(0,0)</math>之距）。

求幅角：虛除實，求[[正切]]之逆（記曰「<math>\theta=\tan^{-1}(\frac{b/}{a})</math>」）。

欲求和、差：實加、減實為實，虛並、去虛為虛（記曰「''<math>(a''+''b'' i　\pm bi)+ ''(c''+''d'' i\pm di)= (''a''+'' \pm c'')+(''b''+'' \pm d'')i</math>」）。

欲求差積：實減乘實，減虛乘虛，餘為實，虛減虛實互乘，和為虛（記曰「''<math>(a''+''b'' i　- bi)(''c''+''d'' idi) = (''a''ac-''c''bd)+(''b''-''d''ad+bc)i</math>」）。或模相乘為模，角相加為角（記曰「<math>(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2})=(r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math>」）。

數軛相乘，為模之方耳（記曰「<math>z\bar{z}=|z|^2</math>」）。故倒數為模之方除軛（記曰「<math>z^{-1}=\frac{\bar{z}/}{|z|^2}</math>」）。

欲求商：模相除為模，角相減為角（記曰「<math>(r_1e^{i\theta_1})/(r_2e^{i\theta_2})=(\frac{r_1/}{r_2})e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math>」）。有模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「<math>\frac{z_1/}{z_2}=z_1z_2^{-1}=\frac{(z_1\bar{z_2})/}{(|z_2|^2)}</math><ref>即 <math>\frac{a+bi}{c+di} = \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}\right)i</math></ref>）」。

複數域，乃實數域加元方為負一（「x<supmath>x^2</sup>=-1</math>」）之偽解，故為實數域之[[代數引伸]]。有[[代數基本定理]]云：「複[[多項式]]，必有複數解。」，故複數域者，實數域之[[代數閉包]]也。