二〇一八年七月一三日（五）〇五時五一分審纂 Davidzdh（議｜勛）司空、IP封鎖豁免者、總校官、有秩一六二六〇筆編輯 →‎二項式： // Edit via Wikiplus ←前辨		二〇一八年七月一五日（日）一一時二一分審纂悔 Rii'jeg'fkep'c（議｜勛）五四九筆編輯 →‎無理數之證：修部分數學錯式，且使之更易讀簽：阿拉伯數字呈纂後辨→
第一〇行：若<math>n</math>有值，則可證以[[二項式定理\|二項式]]： : <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n </math> : <math> =\lim_{n\to\infty} \sum_{ik=0}^{n}C_{in}^{nk}1^{n-ik}\left(\frac{1}{n}\right)^ik </math> : <math> =\lim_{n\to\infty} \left[C_{0n}^{n0}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1n}^{n1}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2n}^{n2}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3n}^{n3}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right] </math> : <math> =\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right] </math> : <math> =\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n2!\times n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!\times 2nn^3}+...+\frac{1}{n^n}\right] </math> : <math> =2\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{63!}+...</math> :<math> =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} </math> : <math> =2.71828...</math> :其之有 :<math> 0!=1 </math> :<math> n!=1\cdot2\cdot3\cdot...n=\textstyle \prod_{k=1}^n \displaystyle k=n(n-1)! </math> <!---

「歐拉數」：各本之異