「勾股定理」：各本之異
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第一行：
{{當代數學}}
[[File:Chinese pythagoras.jpg|thumb|right|300px|勾股冪合以成弦冪]]▼
'''勾股定理'''，西方曰'''畢氏定理'''，直角三角形之理也。[[餘弦定理]]之特例，亦為[[托勒密定理]]之特例。
== 平面幾何 ==
勾股定理云：「
中華曰[[商高]]肇之，故又曰'''商高定理'''，始述於[[周髀算經]]，[[東漢]]末[[趙爽]]以[[勾股方圓圖]]證；泰西曰'''畢氏定理'''，[[古埃及]]人或[[巴比倫]]人所肇，[[古希臘]][[畢達哥拉斯]]始證。
第一六行：
觀[[曲率]]為負一之[[雙曲幾何|雙曲平面]]，勾股定理云：「勾股各取[[雙曲餘弦]]，乘之，股之雙曲餘弦也。」（<math>\cosh a \cosh b = \cosh c</math>）
== 證明 ==
===趙爽「勾股方圓圖」之證===
▲[[File:Chinese pythagoras.jpg|thumb|right|300px|勾股冪合以成弦冪]]
按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。 ——三國·吳國·趙爽《周髀算經注》
釋：設「勾」為 ''a''，「股」為 ''b''，「弦」為 ''c''。「勾股相乘」乃 ''ab'' ，即朱實二（因朱實乃三角形，面積乃 <math>\frac{1}{2}ab</math> 也）。倍之者，乃 ''2ab'' ，即朱實四也。「勾股之差」乃 ''b-a'' ，其方者乃 <math>(b-a)^2</math> ，黃實也。朱實四及黃實之和，弦實也，即<math>c^2</math>。是故 <math>2ab+(b-a)^2=c^2</math>，化簡得<math>a^2+b^2=c^2</math>
[[File:Phzscn.gif|thumb|default|趙爽 勾股方圓圖證勾股定理]]
=== 劉徽「割補術」之證 ===
[[File:Qzzrtcn.gif|thumb|default|劉徽 青朱出入圖]]
勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。 ——三國·魏國·劉徽《九章算術注》
釋：設「勾」為 ''a''，「股」為 ''b''，「弦」為 ''c''。「勾自乘」乃<math>a^2</math>，即「朱方」；「股自乘」乃<math>b^2</math>，即「青方」。朱方及青方之和，等於大正方形之面積，乃「弦方」，即<math>c^2</math>。故<math>a^2+b^2=c^2</math>也。
=== 歐幾里得《幾何原本》之證 ===
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|thumb|歐幾里得《幾何原本》之證]]
設<math>\triangle ABC</math>為一直角三角形，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。自''A''點作垂線於對邊。延是線，分對邊之正方形為二也，其面積等於二正方形之和也。
證之先，有四輔助定理：
* 若二三角形等其二邊，并等其夾角，則此二三角形，全等也。（SAS定理）
* 三角形之面積者，半之同底同高之平行四邊形之面積也。
* 任一正方形之面積者，邊長平方也。
* 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。
證之思：上述二正方形，輔之以同底等高之三角形，據其面積關係，等於下二等面積之矩形也。
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|證明輔圖二]]
證明：
# 設<math>\triangle ABC</math>為一直角三角形，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。
# 其邊，BC、AB、CA也。依序繪四方形，CBDE、BAGF及ACIH也。
# 經點A作平行線於BD、CE也。交BC和DE分別於點K、L也。
# 連CF、AD，二三角形<math>\triangle BCF</math>、<math>\triangle BDA</math>成也。
# <math>\angle CAB</math>及<math>\triangle BAG</math>者，直角也。是故C、A、G都三點共線。同理可證B、A、H三點共線。
# <math>\angle CBD</math>及<math>\angle FBA</math>，皆直角也，故<math>\angle ABD</math>等於<math>\angle FBC</math>。
# 因AB及BD分別等於FB及BC，故<math>\triangle ABD</math>等於<math>\triangle FBC</math>。
# 因A、K、L三點共線，故矩形BDLK之面積，二倍於<math>\triangle ABD</math>也。
# 因C、A、G三點共線，故矩形BAGF之面積，二倍於<math>\triangle FBC</math>也。
# 是故矩形BDLK之面積，等于BAGF之面積也，乃<math>AB^2</math>也。
# 同理可證，四邊形CKLE之面積，等于四邊形ACIH之面積也，乃<math>AC^2</math>。
# 求和，得 <math>AB^2 + AC^2 = BD \times BK + KL \times KC</math>。
# 又<math>BD=KL</math>，<math>BD \times BK + KL \times KC = BD(BK + KC) = BD \times BC</math>。
# 又四邊形CBDE者，正方形也，故<math>AB^2 + AC^2 = BC^2</math>也。
是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節]{{en}}，歐幾里德著</ref>
== 見 ==
* [[餘弦定理]]
* [[托勒密定理]]
== 參 ==
<references/>
{{Commons|Category:Pythagorean theorem|勾股定理}}
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