「群 (代數)」:各本之異

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'''群'''者,對稱性之抽象,今[[代數]]之本也。光之者,[[法國]]疇人[[伽羅瓦]]耳。
 
== 定義 ==
'''群''',集也,有一「[[二元運算|乘法]]」(o)<ref>集與己直積映射己,o : G&times; G &rarr; G 。o(x,y) 多作 x o y 。</ref>,合:
* 甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積(「x o (y o z) = (x o y) o z」),曰[[結合律]]。
* 有元素名[[單位元]],曰「一」(「1」),凡物乘「一」或物乘以「一」,皆為己(「1 o x = x o 1 = x」)。
* 物必有逆(「x<sup>-1</sup>」),物乘逆或逆乘物,皆同乎「一」(「x o x<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup> o x = 1」)。
若合乎[[交換律]],即甲乘乙必同乎乙乘甲者,則曰[[交換群]],亦曰[[阿貝爾]]群。
 
== ==
* 整數集合其加法,交換群也,其「一」為零。
* 整數集合其乘法,非群也。蓋若為群,其「一」必為一,而二無逆耳。
* 偶數集合其加法,非群也,蓋無「一」耳。
* 「負一,零,一」合整數加法,非群也,蓋一加一不存耳。合[[同餘|三同餘]]加法,則群也。
 
* 整數集,取「甲乘乙」為甲加乙加一(「x o y = x + y + 1」),交換群也,其「一」為負一,物之逆為負二減己(「x<sup>-1</sup> = -2 - x」)。
* [[矩陣|可逆矩陣]]合其乘法,群也。然非交換群耳。
* [[四元數]]合其乘法,群也。然非交換群耳。
 
== 注 ==
第五六行:
[[lt:Grupė (algebra)]]
[[lv:Grupa (matemātika)]]
[[mg:Vory (matematika)]]
[[ml:ഗ്രൂപ്പ് (ഗണിതശാസ്ത്രം)]]
[[ms:Kumpulan (matematik)]]