「實數」：各本之異
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第一七行：
求和者，異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。求差者，同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。求積者，同名正之，異名負之。求商者，同名正之，異名負之。去其名，曰[[絕對值]]。
== 集 ==
當世數學，[[空集]]生自然數，然後[[整數]]、[[分數]]、實數、[[複數]]。然分數何生實數？
第二三行：
實數定義，無有常法。兹聊述之。
=== 戴氏切割 ===
有非空集甲乙，其並為分數集，且甲之物必小於乙之物，則甲乙成一有序對。例：凡分數之立方有異於三者，按其大小，各成一集，得一有序對，曰三開立方。若觀以數線，則正割於所翼處耳。
第二九行：
蓋[[戴德金]]（Dedekind）首提此法，因以為名。其合[[幾何]]直觀，然難以[[四則]]算之耳。
=== 柯西序列 ===
分數之[[柯西序列]]者，趨於一點之序列也。此法四則簡明，加減乘除，逐項算之（「{a<sub>n</sub>}*{b<sub>n</sub>}={a<sub>n</sub>*b<sub>n</sub>}」，* 可為加減乘除也）。然有二弊。
第三七行：
坊間多以十進數列（「1, 1.4, 1.44, 1.442, 1.4422, ...」)定義三開立方（「1.4422495701...」)。惟此難與三又億分之一開立法分辨也。故尋相應之序列，殊不易耳，此二弊也。<ref>有序列{a<sub>n</sub>}合「2-1/n ≤a<sub>n</sub><sup>3</sup> ≤ 2」者，三開立方也。</ref>
== 性 ==
* [[域 (代數)|域]]者，可作[[四則]]運算也。
* [[偏序#全序|全序]]集者，其內之數可分大小也<ref>以複數論，負一開方莫大乎或小乎一也，故數未必可分大小。</ref>。
* 大於零者曰正，正數之和及積咸正耳。
* [[偏序#完備|完備]]者，凡[[子集]]有[[偏序|上界]]，必有[[偏序|最小上界]]也。
前三者合曰有序域，而僅實數集為完備有序域耳。以其定義實數，亦無不可，然不知實數為何物也。
第五二行：
{{數系}}
[[Category:數學]]▼
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▲[[Category:數學]]
[[ar:عدد حقيقي]]
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